[機統] 一個想很久的問題

[thinkabout ( )]

有一個人玩一個遊戲，每次經過一個關卡會得到Ｄ個獎勵

而且，有一定機率CRT可以拿到2Ｄ個獎勵，即兩倍的獎勵

每個關卡的CRT是一樣的

那麼每一個關卡所得到的獎勵期望值應該是

  2Ｄ*CRT+(1-CRT)*Ｄ

= Ｄ*(1+CRT)

所以預期過Ｎ個關卡所得到的獎勵期望值應該是

Ｎ*Ｄ*(1+CRT)

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另外一個想法是，如果我確定要過Ｎ個關卡


                      Ｎ
由[CRT+(1-CRT)]^Ｎ = sum C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k) = 1
                     k=0

得知過Ｎ關的獎勵期望值應該是


      Ｎ
  Ｄ*sum (Ｎ+k)*C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k)
     k=0

              Ｎ
= Ｎ*Ｄ + Ｄ*sum k*C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k)
             k=0

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請問這兩種想法算出來的值是一樣的嗎？

也就是


          Ｎ
Ｎ*CRT = sum k*C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k)？
         k=0

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推 variation   : 是
→ thinkabout  : 那麼請問有辦法用一般的化減來推出等式嗎？
→ yyc2008     : CRT是什麼? CRT螢幕?
推 APM99       : 用點技巧加起來,可google二項分佈期望值
→ thinkabout  : CRT=critical
推 ERT312      : 利用 k*C(n,k) = n*C(n-1,k-1)
→ thinkabout  : thx~