Re: [機統] 一個想很久的問題

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《thinkabout ( )》之銘言：
: 有一個人玩一個遊戲，每次經過一個關卡會得到Ｄ個獎勵
: 而且，有一定機率CRT可以拿到2Ｄ個獎勵，即兩倍的獎勵
: 每個關卡的CRT是一樣的
: 那麼每一個關卡所得到的獎勵期望值應該是
:   2Ｄ*CRT+(1-CRT)*Ｄ
: = Ｄ*(1+CRT)
: 所以預期過Ｎ個關卡所得到的獎勵期望值應該是
: Ｎ*Ｄ*(1+CRT)
: =====================================================
: 另外一個想法是，如果我確定要過Ｎ個關卡
:                       Ｎ
: 由[CRT+(1-CRT)]^Ｎ = sum C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k) = 1
:                      k=0
: 得知過Ｎ關的獎勵期望值應該是
:       Ｎ
:   Ｄ*sum (Ｎ+k)*C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k)
:      k=0
:               Ｎ
: = Ｎ*Ｄ + Ｄ*sum k*C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k)
:              k=0
: =====================================================
: 請問這兩種想法算出來的值是一樣的嗎？
: 也就是
:           Ｎ
: Ｎ*CRT = sum k*C(Ｎ,k)*CRT^k*(1-CRT)^(Ｎ-k)？
:          k=0

   N
= sum [N! / {(N - k)! (k - 1)!}] CRT^k [1 - CRT]^(N-k)
  k=0

     N
= N sum [(N - 1)! / {(k - 1)! (N - k)! }] CRT^k [1 - CRT]^(N-k)
    k=1

        N-1
= N CRT sum [(N - 1)! / {k! (N - k - 1)!] CRT^k [1 - CRT]^(N-k)
        k=0


= N CRT

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推 thinkabout  : 感謝~~