Re: [微積] tan的連續 證明

[Eliphalet (怕什麼？我又不是猩猩王)]

※ 引述《louisshih (老牧師4ni)》之銘言：
: 小弟最近寫到一題證明
: 要我們求tan是不是一個連續函數
: 包括證明
: 我們知道tan圖畫出來就是不連續
: 我想說用y=tan90度時  y不存在
: 之後對tan90度作微分
: 左極限跟右極限不一致
: 所以tan不是一個連續函數
: 請問這樣可以嗎？
: http://i.imgur.com/hWK1uNH.jpg


  不可以！ 光是第一句

  設 tanθ 為一個連續函數，則 tanθ 可微分 (而且根本沒用到這吧...)

  就有問題了，而且後面第二、三句也寫得不知所云...

  tan 連不連續要看你書本的定義怎麼寫的

  我是認為連續啦 ( tan : D -> R，D 是 tan 的定義域，tanθ=sinθ/cosθ

  又 sin 跟 cos 皆為連續函數 )

  但是就我手上某本微積分的書有提到 f 在 c 點連續要滿足

    1. f(c) is defined.

    2. lim f(x) exists.

    3. lim f(x) = f(c)

  就 tan 而言，滿足 cos(c) = 0 的點，1,2,3 都會有問題

  照這樣看起來的話 tan 就變成不連續

  (看起來這定義滿糟的 XD)

  所以最後還是要看你課本是怎麼寫的...

: 我寫到最後感覺不太順
: 請大家指點一下
: 先謝謝各位

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.46.230.109
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1445322861.A.A09.html
推 LPH66       : 個人覺得就算這麼定義單點連續, 函數連續的定義上
→ LPH66       : 就不包含不在定義域裡的點了, 那麼定義域外的點
→ LPH66       : (by(1)不連續)對函數是否連續沒有影響才對
 LPH66 大，我也是這麼認為的

 但該書( Calculus 7th edition by Larson Hostetler and Edwards)

 認為這算不連續

 裡面的圖 http://imgur.com/2TZh7UH
※ 編輯: Eliphalet (114.46.230.109), 10/20/2015 18:47:27
推 LPH66       : 你應該要去找書裡對「連續函數」的定義才對
→ LPH66       : 這張圖應該是少畫了一個 c 點的值 (不在線上在別處)
→ LPH66       : 因為它是在講定義域內不連續點的性質
  不是漏畫(雖然我知道很怪)

  它書裡單點連續的定義，是上面打的那三點。之後接了這段文字

  Consider an open interval I that contains a real number c. If a function f

  is defined on I(except possibly at c), and f is not continuous

  at c, then f is said to have a discontinuity at c.

  所以該書沒定義的點也是算在不連續
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  OK 我知道問題的來源了。 提到連續函數的部分

   A  function is continuous on an open interval if it is continuous

   at each point in the interval.

  這裡並沒提到這個 interval 包含在定義域內 (至少沒明指)

  我承認我是看到上面的那個圖，所以把

   to have a  discontinuity at c  => be a discontinuous function

  至於上下文，我倒是沒看到關於 discontinuous function 的敘述

  還有，我有說我的意見跟您是一致的，就忘了這本書吧 XD

※ 編輯: Eliphalet (114.46.230.109), 10/20/2015 20:00:50
※ 編輯: Eliphalet (114.46.230.109), 10/20/2015 20:16:19
→ wohtp       : 所以 f(x) = x，但只定義在有理數上面，這樣的函數
→ wohtp       : 也叫做連續可微嗎？
推 louisshih   : 我想到了 因為sin cos可是一個連續函數，tan=sin/co
→ louisshih   : s 所以tan也是一個連續函數
→ kerwinhui   : @wohtp: 這f當然是C^1(Q)
→ deflife     : 本性不連續好像
→ yhliu       : tan(x) 是不是一個連續函數? 我猜絕大多數初微教本
→ yhliu       : 都會說它在許多點不連續, 因此不是一個處處連續的函
→ yhliu       : 數. 不過, 相信所有高微、數學分析的教本的定義都會
→ yhliu       : 導致 "tan(x) (在其定義域) 是連續函數" 的結論.
→ yhliu       : 其實這種存在於初、高微教本上定義的差異有好幾項,
→ yhliu       : 例如極限的存在、連續及數、遞增與遞減函數等.
推 Desperato   : 推樓上