Re: [微積] 基礎微積分證明

[Eliphalet (怕什麼？我又不是猩猩王)]

※ 引述《jim29037316 (零點零)》之銘言：
: 最近被問到一題微積分
: 題目是這樣的
: Suppose that f:[0,R]->R with
: f(0)=0 & f' : continous on [0,R]
: If f*f'>=0 on [0,R],then f never change sign on [0,R].
: 也就是說 either f>=0 or f<=0 on [0,R]
: 目前想到的是用矛盾法
: 假設存在 x1,x2在[0,R] 使得f(x1) < 0 <f(x2)
: 可是到這就卡了...
: 希望有人可以幫忙解答一下謝謝!


   1. ff' = (f^2/2)'， 這表示 f^2 為遞增函數

   2. 由 1.，如果 f(r) = 0， 0 < r < R 則 f 在 [0,r] 全為 0

   3. 如果會變號，由 intermediate value theorem 加上 2. 可得到矛盾

   4. 打完收功

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推 jim29037316 : 謝謝，不過2有點看不太懂 意思是若是遞增函數的話
→ jim29037316 :  我可以找到一個r 且f(r)=0使得f在0~r全為0嘛?
推 LPH66       : 是指如果有個 0<r<R 使 f(r)=0 那 f 在 [0,r] 都 0
→ LPH66       : 理由是 f^2 為遞增函數, 所以若 f(r)=0 則 f^2(r)=0
推 jim29037316 : 喔喔喔!!感謝各位幫忙~~~ 謝謝!
推 Tiderus     : 那個r應該是任意r from[0,R]，使f^2(r)=0，因為
→ Tiderus     : 有可能在[0,r]間都0，在[r,R]間，才開始遞增？