作者pigfish3333 (豬瑜)
看板Math
標題[線代] Commutable Operators
時間Tue Oct 27 00:09:45 2015
大家好，我對commutativity有點問題
我自己的理解如下:
如果operators或是矩陣commutable的話(AB-BA=0)
那就代表這兩個矩陣(假設A, B)可同步對角化
---> 表示這兩個矩陣存在一組相同特徵向量(eigenvectors)
讓A=S(Da)S^-1; B=S(Db)S^-1
---> 表示矩陣A和B有相同的特徵空間(eigen space)
如果上述說法是正確的，那我是不是就能推論
若A和B是commutable，且B和C也commutable，則A和C也會commutable
因為它們的特徵空間皆相同，即commutativity是可以transitive的。
但是查了一下Wiki的資料，發現這個想法是錯的
https://en.wikipedia.org/wiki/Commuting_matrices
(Wiki的例子) [A,I]=0, [B,I]=0 ---> [A,B]=\=0
它上面又提到:
"If restricted to Hermitian matrices without multiple eigenvalues,
then commutativity is transitive."
想請問，我上面的想法是哪邊出了問題呢?
是不是A和B可同步對角化並不代表它們有相同的特徵空間?
如果是，這又是為什麼呢?
然後我也想知道為何條件限制成沒有重根特徵值的Hermitian matrices時，
則commutativity又變得有transitive的性質了。
我可以在哪邊找到這個性質的證明呢?
麻煩線代高手幫忙解惑了，問題很多實在非常感謝!
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推 recorriendo : 就從維基百科的例子想啊 A和I可被同步對角化 B和I也 10/27 02:11
→ recorriendo : 可以同步對角化 所以A和B就可以被同步對角化了嗎? 10/27 02:12
→ recorriendo : 把這個基本的關係搞清楚 你那兩個問題就自然有解答 10/27 02:19
→ wohtp : 還有一個更根本的問題：誰跟你說A和B可以對角化的？ 10/27 02:48
→ pigfish3333 : 恩恩 大概懂了 Hermitian才能保證對角化吧 10/27 12:49
→ pigfish3333 : 如果剛好Hermitian與非Hermitian有一樣Eigenspace 10/27 12:50
→ pigfish3333 : 則他們commutable。這樣對嗎? 10/27 12:51
→ pigfish3333 : 這樣是不是表示我一個矩陣的特徵空間包含了另一個 10/27 12:54
→ pigfish3333 : 矩陣的特徵空間，則這兩個可以commute，但個別不一 10/27 12:55
→ pigfish3333 : 定能對角化 10/27 12:55
→ coolbetter33: 這個S是跟A,B個別的ES有關.而B,C的ES可能是另個S' 10/27 13:13
→ coolbetter33: 都是厄米特才有S=S'=S"的效果.也才有遞移性 10/27 13:16
→ pigfish3333 : 謝謝你喔 寫得很詳細 10/27 20:54