[其他] 函數整數解

[harry921129 (哈利~~)]

        請問

        y=( x^(2n)/k + x^n )^(1/n)

        n為大於等於2的整數 , k為任意整數

        請問此時x,y有整數解嗎

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→ kerwinhui   : 當然有！(x,y)=(0,0)不就是一整數解
推 Desperato   : 你可以反過來想 固定n, x, y, let X=x^n, Y=y^n
→ Desperato   : 則 k = X^2/(Y-X), 也就是這個k和n 會生出一組x, y
→ kerwinhui   : k=x^{2n}/(y^n-x^n)要成為整數很難…
→ Desperato   : 噢對喔我忘記了XD 抱歉耍蠢了
→ harry921129 : 也就是除了(0,0)之外 應該無其他整數解了嗎?
→ harry921129 : 我是覺得應該無整數解~~
推 Desperato   : 不 應該有其他整數解
→ Desperato   : 假設簡單的情況 y = tx, 則Y = t^n X
→ Desperato   : 代回k式會得到 k = X/(t^n-1), 所以t^n-1 | X
→ Desperato   : 那就直接設x=t^n-1 就會有整數解了
→ Desperato   : 例如n=3, x=7, y=14的情況 k=49, 這是一組整數解