※ 引述《harry921129 (哈利~~)》之銘言：
: 請問
: y=( x^(2n)/k + x^n )^(1/n)
: n為大於等於2的整數 , k為任意整數
: 請問此時x,y有整數解嗎
Assume x != 0, then x != y, then k = x^(2n)/(y^n-x^n)
Now if y != 0, let d = gcd(x, y), a = x/d, b = y/d, then gcd(a, b) = 1
cancelled by d^n, k = (d^n)(a^(2n))/(b^n - a^n)
for any prime p | a, p !| b, thus p !| b^n - a^n
thus for any prime q | b^n - a^n, q !| a, hence b^n - a^n | d^n
然後問題就變成了找 t(b^n - a^n) = d^n 的整數解
這很容易，只要給定b, a之後，用t直接暴力補成某個d的n次方就好
所以給定 n 和 gcd(a, b) = 1, a != b
存在 t 和最小正整數 d，使得 t(b^n-a^n) = d^n (其他d會是最小d的整數倍)
然後 x = da, y = db, k = t(a^(2n)), 這是一組整數解
所有解答應該就會分成三種
(1) x = 0, y = 0, (n, x, y, k) = (n, 0, 0, k)
(2) x != 0, y = 0, (n, x, y, k) = (n, x, 0, -x^n)
(3) x != 0, y != 0, (n, x, y, k) = (n, da, db, ta^(2n))
a != 0, b != 0, a != b, gcd(a, b) = 1, t(b^n-a^n) = d^n
上一篇推文的是 (n, a, b) = (3, 1, 2) 的情況
此時 t = 49, d = 7, (n, x, y, k) = (3, 7, 14, 49)
反過來先給定k和n，就比較難說了，因為給定t和a
判定有沒有b和d符合 t(b^n-a^n) = d^n 很困難...
(n, a, b) = (3, -1, 1) , t = 4, d = 2, (n, x, y, k) = (3, -2, 2, 4)
(n, a, b) = (3, -1, 2) , t = 3, d = 3, (n, x, y, k) = (3, -3, 6, 3)
這感覺是數字最小的情況了ow o
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嗯嗯ow o
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※ 編輯: Desperato (140.112.7.214), 10/28/2015 17:24:49
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