Re: [微積] 基礎微積分證明

[jim29037316 (零點零)]

※ 引述《Eliphalet (怕什麼？我又不是猩猩王)》之銘言：
: ※ 引述《jim29037316 (零點零)》之銘言：
: : 最近被問到一題微積分
: : 題目是這樣的
: : Suppose that f:[0,R]->R with
: : f(0)=0 & f' : continous on [0,R]
: : If f*f'>=0 on [0,R],then f never change sign on [0,R].
: : 也就是說 either f>=0 or f<=0 on [0,R]
: : 目前想到的是用矛盾法
: : 假設存在 x1,x2在[0,R] 使得f(x1) < 0 <f(x2)
: : 可是到這就卡了...
: : 希望有人可以幫忙解答一下謝謝!
:    1. ff' = (f^2/2)'， 這表示 f^2 為遞增函數
:    2. 由 1.，如果 f(r) = 0， 0 < r < R 則 f 在 [0,r] 全為 0
:    3. 如果會變號，由 intermediate value theorem 加上 2. 可得到矛盾
:    4. 打完收功


謝謝E大還有幾位的解答!

愚鈍的小弟還是有點問題...

和朋友討論了一下，為何由1可以得2呢?

謝謝大家





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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 42.66.32.149
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1446107267.A.A08.html
推 a016258     : 上一篇底下推文有說，因為 f^2 是遞增函數
→ jim29037316 : 可是遞增函數不是x2>x1,f(x2)>f(x1) 為何會在[0,r]
→ jim29037316 : 之間全為0?
推 a016258     : if m <r & f(m)≠0 => f^2(m)>0 but f^2(r)=0 →←
→ jim29037316 : 謝謝a大，但我不懂的是2為什麼能這樣假設
→ jim29037316 : 題目不是說f(0)=0嗎?
→ Eliphalet   : 給 2F, 我這裡的 increasing 是可含等號的
→ Eliphalet   : 或者寫 nondecreasing 比較不會有爭議
→ jim29037316 : 喔喔!! E大感謝~~~