推 tong70624 : 謝謝你囉～話說為啥你這樣就知道我用哪本課本xD 10/29 22:58
→ leica13 : 因為我也是同一本。XD 10/29 23:10
今天剛好學到，試著回答看看。XD
首先先看定理：
L = lim f(x) <=> f(Xn) → L as n → ∞
x → a
∀ Xn 屬於 I/{a} which converges to a as n → ∞
所以說，每個收斂到 a 的序列 Xn，它的函數值 f(Xn) 都要收斂到 L，才會等價。
(Part A) (Part B) (Part C)
題目說： Xn 這序列會收斂到 a。
然後就 if f(Xn) → L s.t. f(X) → L。
個人認為，問題點是在它沒提到是不是所有序列都會滿足 f(Xn) → L。
課本的 Example 3.7 就是一個反例：
f(X) = sin (1/X) X ≠ 0
0 X = 0
在這個例子中，找得到兩個序列 An 跟 Bn。 (詳細就請您看課本)
這樣子，序列 {An} 跟 {Bn} 都會收斂到 0，滿足 Part A。
但是它的函數值一個是收斂到 1，另一個收斂到 -1，不滿足 Part B。
因此，這個函數 f(X) 的極限值自然就不存在了。
所以這個敘述是錯誤的。
※ 引述《tong70624 (小曹)》之銘言：
: http://i.imgur.com/V9Tn1AX.jpg
: http://i.imgur.com/YxuRjbQ.jpg
: 如圖
: 一個是定理，一個是題目
: 題目的答案是False
: 但是不太懂跟定理有什麼差異
: 感覺題目的敘述跟定理差不多
: 為什麼答案會是False呢？
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