Re: [中學] 高中數學

[Eliphalet (怕什麼？我又不是猩猩王)]

※ 引述《semmy214 (陳山河)》之銘言：
: ※ 引述《a016258 (憨)》之銘言：
: Cos^2(a)+Cos^2(b)+Cos^2(c)=1
: cos^2(a)/(sin^2(a)+cos^2(a))+cos^2(b)/(sin^2(b)+cos^2(b))+
: cos^2(c)/(sin^2(c)+cos^2(c))=1
: 1/(tan^2(a)+1)+1/(tan^2(b)+1)+1/(tan^2(c)+1)=1
: >=3 / 3 √[(tan^2(a)+1)(tan^2(b)+1)(tan^2(c)+1)]
: 所以：
: (tan^2(a)+1)(tan^2(b)+1)(tan^2(c)+1)>=27
: 所以：
: (tan^2(a)+1)(tan^2(b)+1)(tan^2(c)+1)>=2tan(a)*2tan(b)*2tan(c)>=27
: 所以：
: tana*tanb*tanc最小值为27/8
: 這是大陸網友的解法
: 但(tan^2(a)+1) 為什麼=2tan(a)  ???

 好 騙點 P 幣

→ Eliphalet   : 先不管那些，當 A=B=C = arccos(√3/3)時
→ Eliphalet   : tan(A)tan(B)tan(C) = 2√2 大約 2.828 所以你確定
→ Eliphalet   : 27/8 是最小值？確定這答案可信？
→ semmy214    : 我也覺的有問題 但他前面的步驟應該沒錯...
 其實問題出在最後一步，又沒說 8 tan(A)tan(B)tan(C) 跟 27 誰比較小...

 其實好像也寫得差不多了...

 前面已經算出 1/(1+tan^2(A)) + 1/(1+tan^2(B)) + 1/(1+tan^2(C)) = 1

 且由算幾不等式

   (1+tan^2(A))(1+tan^2(B))(1+tan^2(C))≧27

 等號發生於  tan^2(A)=tan^2(B)=tan^2(C)

  又 tan(A) tan(B) tan(C) 皆大於 0

  tan(A)tan(B)tan(C) 最小值發生在 (tan(A)tan(B)tan(C))^2 最小時

  在限制條件下，當(1+tan^2(A))(1+tan^2(B))(1+tan^2(C))最小時

  得 (tan(A)tan(B)tan(C))^2 最小

  所以最小值發生在 tan(A)=tan(B)=tan(C) 時

  此時 tan(A) = tan(B) = tan(C) = √2

 故最小值 2√2

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※ 編輯: Eliphalet (114.46.194.70), 11/02/2015 20:51:47
※ 編輯: Eliphalet (114.46.194.70), 11/02/2015 21:18:02