Re: [分析] n個函數任m個相乘相加連續

[motivic (Ian)]

some thought:

WLOG, we assume that 0<=f_1.

It is sufficie to prove that f_n is continuous at p.

Condition 1 implies Σf_i^k  =: P_k is continuous.
                      i=1~n

Condition 2 shows that  lim (P_k)^(1/k) = f_n  pointwise.
                        k-->+00

Since f_i are bounded on a closed ball around p, the lim converges uniformly,
 to a continous function.

Consequently, f_n is continous at p.


※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 呃 不知道怎麼下標題
: 我想證明或是找以下論述的反例：
: Let f_i：(M,d) → (R,││) , i=1~n , p in M
: where (M,d) is a metric space and R is a set of real numbers
:         n
: If (1) Σ  f_i is continuous at p
:        i=1
:         n
:        Σ  f_i*f_j is continuous at p
:        i≠j
:         n
:        Σ     f_i*f_j*f_k is continuous at p
:        i≠j≠k
:        ‧
:        ‧
:        f_1*f_2*...f_n is continuous at p
:    (2) f_1≦f_2≦...≦f_n in a neighborhood of p
: then f_i is continuous at p for all i=1~n
: ----------------------------------------------------
: 進展：
: n=2已證出是對的，n=3就湊不出來了，但是也找不到反例
: ，idea 無非就是用原始條件去湊出f_i
: 以n=2為例，條件就是：
: f_1+f_2 continuous at p
: f_1*f_2 continuous at p
: f_1≦f_2 in a neighborhood of p
:                                        f_1+f_2 - √[(f_1+f_2)^2-4f_1*f_2]
: 則in a neighborhood of p，f_1 可以寫成 ─────────────────
:                                             2
: 因此得證
: （列出個n=3 條件就是 f_1+f_2+f_3 , f_1*f_2+f_2*f_3+f_1*f_3 , f_1*f_2*f_3）
: 另外，會想證這個是因為如果這個成立，則eigevalue的連續性就成立，所以才猜測
: 這個是對的，如果是錯的希望有反例 謝謝！

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推 Desperato   : 推
推 znmkhxrw    : 有幾個問題 1.以n=3為例,condition 1我只能證出k=1~
→ znmkhxrw    : 3，其他k>=4有general證法嗎 2.除以f_n要先保證他
→ znmkhxrw    : 不為0，這個我先加入條件好了，可是均勻收斂完全不
→ znmkhxrw    : 知道怎麼成立的
→ motivic     : 不會用到除法，fn連續的話, 可以把問題reduce到n-1
→ motivic     : 的情況