[微積] 工數 (y')^2 + y^2 = 1

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Q1.

求(y')^2 + y^2 = 1 的通解

我的想法是
       ______
y' = √1-y^2

兩邊同時積分
          _____
y+C = ∫√1-y^2 dx

令 y=sint => 1-y^2 = cos^2 t,  dy = cost dt

y+C = ∫cost cost dt, ∫cos^2 t dt = 1/4 sin2t + 1/2 t + C

y+C = 1/4 sin2t + 1/2 t + C,  t = sin^-1 y 代回

y+C = 1/2 sint cost + 1/2 t,  把右C 併到左C

y+C = 1/2 y cost + 1/2 sin^-1 y

然後我就不知道cost 該怎麼辦了
解答是 y=sin(x+C) 感覺很簡潔
讓我不禁懷疑自己這樣的算法是對還錯
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Q2.

∫cos^2 t dt 這個積分


∫cos^2 t dt = 1/4 sin2t + 1/2 t + C
是我從網路上找到的


我自己原本算∫cos^2 t dt的作法是

令 u=cost => -1/sint du =dt

-1/sint∫u^2 du = (-1/sint)(1/3 cos^3 t)
                = -cos^3 t/sint

好像長得跟網路上找到的 也不太一樣QQ


麻煩各位大神了救救小魯了

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.217.249.155
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1446486776.A.2C0.html
※ 編輯: cschenptt (180.217.249.155), 11/03/2015 01:53:25
推 nbajack     : 第一題應該不能直接那樣積喔... 在令y=sint怪怪的 y
→ nbajack     : 是x的函數
推 nbajack     : 抱歉我自己也沒有想懂 但是好像不是錯在這邊
→ tsoahans    : Q1你dx怎麼變dy
對耶!! 後面是dx 但前面是y函數 所以我Q1的做法錯了
已哭 想不到該怎麼做了Q___Q
→ tsoahans    : Q2有t的函數不能直接提出積分..
那邊好像是筆誤 已更正為 -1/sint du =dt
請問大大這樣更正完後 對了嗎?
→ tsoahans    : 第二題提示 cos^2 t=(1+cos2t)/2
用這個方法順利得出 感謝
但我還是想知道我原本的地方 錯在哪
→ tsoahans    : -1/sint還是不能提出積分外阿 u跟t有關
→ tsoahans    : 第一題就分離變數 [1/sqrt(1-y^2)]dy=dx
→ tsoahans    : 之後再對兩邊積分
→ kittor      : 第一題把原式和圓的方程式聯想在一起吧
感謝樓上兩位大大提供方向 已解出
想太多了 原來是最簡單的分離變數
※ 編輯: cschenptt (1.175.97.50), 11/03/2015 11:23:48
推 kittor      : 開根號要加正負?