[分析] continuous map的一些疑問

[jas0205 (無名)]

我讀到一個THM是這樣說的

Let M1,M2 be metric space.

A map f:M1->M2 is continuous iff

for every open set U in M2,

its preimage f^-1(U) is open in M1(這裡preimage的那個符號不太會打)

我的問題是 我今天嘗試想了一個簡單的例子  考慮一個函數

f:X->Y

f(x)=  x    if  x=<0

      x+1   otherwise

這個函數很明顯 not continuous

但是考慮 U={ u | -1< u < 2  }  這是一個open set in Y

可他的preimage 是 -1< f^-1(u) < 1 這個區間 也是一個open set

好像跟那個定理會有所衝突 雖然這只是其中一個open set 還沒檢驗所有的open set

可是我也找不到一個open set in Y但他的preimage 卻在X裡不是open的

所以上來請教看哪位大大可以指點一下我的問題出在哪

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.133.252.99
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推 sunev       : U={ u | -1/2 < u < 1/2  }

喔喔  懂了!!

那如果把 X 定義的範圍改成 |R/{0}

函數變成

f:X->Y

f(x)=  x    if  x<0

      x+1   if  x>0

這種情況下仍然可以找到例子嗎
※ 編輯: jas0205 (220.133.252.99), 11/03/2015 20:31:58
※ 編輯: jas0205 (220.133.252.99), 11/03/2015 20:32:32
推 omni1234    : 我的想法是 如果你一開始Y是定義為R的話 那你舉的
→ omni1234    : 那個U根本就不是一個open set啊 不知道我的想法有沒
→ omni1234    : 有錯還請其他人指正
→ jas0205     : 仍然可以定義一樣的y吧 只是某些PREIMAGE可能不存在
→ jas0205     : f(f^-1(U)) =/= U   打起來好像有點亂QQ
→ omni1234    : 啊啊我想錯了抱歉
→ jas0205     : 不用抱歉啦  互相學習qq
→ Eliphalet   : 回你新加註的。這樣當然找不到例子，此時 f 是連
→ Eliphalet   : 續的...你可能需要再看熟一點 XD
※ 編輯: jas0205 (1.34.104.73), 11/03/2015 22:18:33
→ jas0205     : 真的耶!!  哈哈  我懂了  謝謝妳