[中學] 半圓質心位置

[Tiderus (修煉人生)]

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想請教大家，質量均勻分佈的半圓的質心，
距離圓心的位置，除了用積分的方式之外，
有沒有什麼巧妙的算法？＠＠


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迷途中唯一的導航 是對自己誠實

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.240.91.95
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※ 編輯: Tiderus (123.240.91.95), 11/12/2015 22:14:15
推 woieyufan   : 我小時候有想過
→ woieyufan   : 我當時是想 半圓質心是左右1/4圓質心的連線中點
→ woieyufan   : 這三點跟圓心構成的三角形 高是半圓質心距離
→ woieyufan   : 斜邊是1/4圓質心距離  這兩個距離的夾角是1/4pi
→ woieyufan   : 回推 1/4圓由兩個1/8圓組成 1/4圓質心距離線跟1/8圓
→ woieyufan   : 的質心距離線夾腳1/16pi
→ woieyufan   : 無限推到最小扇形 這個扇形質心距離圓心0.5R
推 kerwinhui   : Pappus's centroid theorem + 球體積 + 半圓面積
→ woieyufan   : 所以所求=0.5R*cos1/4pi*cos1/16pi*..*cos1/4^npi
→ woieyufan   : 不知道這樣對不對
→ kerwinhui   : 把積分的部分藏起來
推 Desperato   : 應該沒有 不然一定有高中老師手賤出考題XD
→ Desperato   : woieyufan的好像算的出來耶
→ Desperato   : 設 a_n = 0.5R cos(pi/4) cos(pi/8) ... cos(pi/2^n
→ Desperato   : ...好像怪怪的
→ Desperato   : 啊我知道為什麼了
→ Desperato   : 非常小的扇形應該要近似成三角形 所以重心在2R/3的
→ Desperato   : 才對
→ Desperato   : 所以一樣設a_n = (2R/3) 乘後面那一串
→ Desperato   : a_n sin(pi/2^n) = (2R/3) (1/2^(n-1))
→ Desperato   : 所以 a_n = (4R/3pi) (sin(x)/x), x=pi/2^n
→ Desperato   : n趨近於無限 x趨近於0 所以sin(x)/x趨近於1
推 woieyufan   : 感謝 我才發現我連倍率都寫錯了XD
→ Tiderus     : kerwinhui大的東西好像比積分還難..XD
→ Tiderus     : D大這題的來源是高中物理題目...XD
→ Desperato   : 反正高中遇到這題 我也是叫學生積分最快
→ Desperato   : 物理不微積分根本不叫物理了嘛