→ Tiderus : 高招 11/13 22:22
推 tzhau : 費式數列 11/13 22:28
※ 引述《carelai (我心依舊)》之銘言：
: ※ 引述《adamchi (adamchi)》之銘言：
: : x^2+x-1為ax^8+bx^7+1的因式(a,b為整數),則(a,b)= ____
: : 答:(a,b)=(-13,-21)
: 既然 x^2+x-1 是因子，我們就可以令 x^2 = 1-x，
: 代入得到：
: ax^8 + bx^7 + 1 = (ax + b)x^7 + 1
: = (ax^2 + bx) (x^2)^3 + 1
: = (a (1-x) + bx) (1-x)^3 + 1
: = (a + (b-a)x ) (1-x) (1-2x+x^2) + 1
: = (a + (b-2a)x - (b-a)x^2) (1-2x+(1-x)) + 1
: = (a + (b-2a)x - (b-a)(1-x)) (2-3x) + 1
: = ((2a-b) + (2b-3a)x) (2-3x) + 1
: = (4a-2b+1) + (4b-6a-6a+3b)x - (6b-9a)(1-x)
: = (13a-8b+1)+ (13b-21a)x
: 要使它成為因子，這個式子必須為零，即
: 13a-8b+1 = 0, 13b-21a = 0
: 解得 a=-13, b=-21
因為會整除
其實反過來比較好算
+1 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +b +a
+1 │ +1 +1 +2 +3 +5 +8 +13
+1 │ +1 +1 +2 +3 +5 +8 +13
└─────────────────────────
+1 +1 +2 +3 +5 +8 +13 +(b+21) +(a+13)
=> b+21=0, a+13=0 => a=-13,b=-21
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