Re: [微積] 求極限

[Eliphalet (怕什麼？我又不是猩猩王)]

※ 引述《whattoreply (昂特)》之銘言：
: 題目如下
: lim [n-(n/e)(1-1/n)^n]=?
: n→無限
: 請問一下此題目如何計算?
: 如果可拆成f(x)與g(x)，其中g(x)極值存在，是否可以先行算出再分析

  f(x) 跟 g(x) 長怎樣？？

  所謂可拆成 f(x) 與 g(x) 是指？

: 謝謝

 推文 kerwinhui 大有給你提示了，我狗尾續貂把它補完

 ( 不過這題目有問題，或者你打錯了

  (1-1/n)^n → 1/e as n→∞

 這樣不會有極限的(或者說 +∞) )
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 (1-1/n)^n 應該要改成 (1+1/n)^n

            n
  令 s_n = Σ 1/k!
           k=0
                       n       k-1
  (1+1/n)^n = 1 + 1 + Σ  1/k! Π (1-j/n)
                      k=2      j=1

                          n     1
            = s_n - 1/2n Σ  -------- + ...
                         k=2  (k-2)!

            = e - s_{n-2}/2n + g(n)， 其中 g(n) = O(1/n^2) as n→∞


  所以原式 = n ( 1 - 1/e * (e - s_{n-2}/2n + g(n) ))

           = 1/2 * s_{n-2}/e - 1/e n g(n)

           → 1/2 as n→∞

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→ yyc2008     : 有Π的那個等式是怎麼得到的
 二項式定理。 你可以找證明 lim (1+1/n)^n = e 的定理

 應該就可以找到這式子，不然你也可以試著用二項式定理推
※ 編輯: Eliphalet (114.46.215.13), 11/14/2015 22:12:49
→ yyc2008     : 好的，謝謝
推 whattoreply :  =S_n-1/2nΣ1/(k-2)!+ 左邊減號後面是如何化簡的
→ whattoreply : 謝謝