[代數] 多項式根與係數關係

[revengeiori (大笨宗)]

請教一下這題

http://i.imgur.com/TCtcOw0.jpg

p(1)我算出來是19
但不太確定，請問有沒有完整的算法

對於f(x)使用韋達定理，可以得到

r_1 + r_2 + r_3 + ... + r_2007 = -17
r_1 * r_2 * r_3 * ... * r_2007 = -1
兩根&三個以上的根 乘積和為零

且令a_j =r_j + 1/(r_j) ，其中 j=1,2,...,2007

加上P(x)若領導係數為1
則 P(x) = (x - a_1)*(x - a_2)*(x - a_3)*...*(x - a_2007)
        = x^2007 - (a_1 + a_2 + a_3 +...+a_2007)x^2006
                 + (a_1*a_2 + a_1*a_3 +...+ a_2006*a_2007)x^2005
                 ......
                 - a_1*a__2*a_3*a_4*...*a_2007
(這裡開始把韋達定理的條件代進去，怕有地方算錯)

故P(x)只要計算2007次項&2006次項&常數項便可，其他項係數都是零
  P(1)= 1 - (-17) - (-1 -1) = 20

希望大家可以討論一下












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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.161.17.62
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推 LPH66       : 題目應該漏了 p 的首項係數 1, 沒有那個 p 不能確定
→ revengeiori : 對耶，我在算的時候就默認領導係數是1了QQ
→ Tiderus     : (5 + √3i)/34 or (1-√3i)/34 ？
→ revengeiori : 應該不是T大的答案
→ revengeiori : 我有地方算錯了，P(1)=17才對，而f(-1)=17
                                     我又重算一次發現P(1)有算錯
推 Desperato   : 推p(1)=17
推 max0213     : 怎麼算P?
※ 編輯: revengeiori (122.116.158.130), 11/15/2015 21:28:41
推 Tiderus     : 有人開示一下嗎？
→ Tiderus     : 為什麼其他項係數都0？
→ Tiderus     : 常數項為什麼是(-1 -1)？
T大，我是這樣算的
http://imgur.com/r6T9vTy
哪裡有錯還請指正
推 Desperato   : 已回文 不確定是不是對的
感謝D大，讓我又有別的想法
我再試試看，感謝

※ 編輯: revengeiori (122.116.158.130), 11/15/2015 23:00:09
※ 編輯: revengeiori (122.116.158.130), 11/15/2015 23:00:42
→ Tiderus     : r大，中間那個應該不是0，應該會產生 r1*r2/r3之類
→ Tiderus     : 的東西。
推 volition    : 題目抄錯了，應該是求P(1)/P(-1)才對！
→ revengeiori : V大怎麼知道題目抄錯了?
→ revengeiori : 就目前學生給的答案，可能是題目真的抄錯