Re: [代數] 多項式根與係數關係

[Desperato (TimcApple)]

※ 引述《revengeiori (大笨宗)》之銘言：
: 請教一下這題
: http://i.imgur.com/TCtcOw0.jpg
: p(1)我算出來是19
: 但不太確定，請問有沒有完整的算法
: 對於f(x)使用韋達定理，可以得到
: r_1 + r_2 + r_3 + ... + r_2007 = -17
: r_1 * r_2 * r_3 * ... * r_2007 = -1
: 兩根&三個以上的根 乘積和為零
: 且令a_j =r_j + 1/(r_j) ，其中 j=1,2,...,2007
: 加上P(x)若領導係數為1
: 則 P(x) = (x - a_1)*(x - a_2)*(x - a_3)*...*(x - a_2007)
:         = x^2007 - (a_1 + a_2 + a_3 +...+a_2007)x^2006
:                  + (a_1*a_2 + a_1*a_3 +...+ a_2006*a_2007)x^2005
:                  ......
:                  - a_1*a__2*a_3*a_4*...*a_2007
: (這裡開始把韋達定理的條件代進去，怕有地方算錯)
: 故P(x)只要計算2007次項&2006次項&常數項便可，其他項係數都是零
:   P(1)= 1 - (-17) - (-1 -1) = 20
: 希望大家可以討論一下
來打字好了，我也不知道有沒有錯
prod(x_i) 表示2007個x_i相乘

f(x) = x^2007 + 17x^2006 + 1
     = prod(x-r_i)
g(x) = x^2007 f(1/x)
     = x^2007 + 17x + 1
     = prod(x (1/x-r_i))
     = prod(-r_i) prod(x-1/r_i)
     = prod(x-1/r_i)

f(x) g(x) = prod((x-r_i)(x-1/r_i))
          = prod((x^2+1)-x(r_i+1/r_i))

令x^2+1=x, 則x=-w是一解 (w^3=1)

f(-w) g(-w) = (-w)^2007 prod(1-(r_i+1/r_i))
            = - p(1)
            = (-1+17(-w)^2006+1)(-1+17(-w)+1)
            = 289(-w)^2007
            = - 289

所以 p(1) =289 , p(1)/f(-1) = 17

--

嗯嗯ow o

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.12.161.66
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1447599142.A.487.html
→ Desperato   : 代i的話 會得到常數項p(0)=257
推 Tiderus     : x^2007 + 17x + 1 = Π[x- (1/ri)] ？
→ Tiderus     : Π->此處位連乘符號
→ Desperato   : 對 基本上就是想弄出prod(x-1/r_i)
→ Desperato   : 然後發現f代1/x進去就很接近了
推 Tiderus     : 嗯 懂了 thx