推 Desperato : 推推 被好好複習一遍了 謝謝XD 11/23 17:40
※ 編輯: keith291 (220.132.86.93), 11/23/2015 18:03:51
推 w0a3y5n8e1 : 受教了 11/23 22:24
※ 引述《wayne2011 (與乃瑜的無感關係)》之銘言：
: ※ 引述《ksxo (aa)》之銘言：
: : 1
: : ∫x -------- e^(-x^2 /18)
: : √(18π)
: : 範圍是 -∞ ~ ∞
: : 答案是0 請問是因為奇函數的關係嗎?
: : ∞
: : 我算到 -9/√(18π) [e^(-x^2 /18)]
: : -∞
: : 這樣看起來好像不會有互消的關係
: : 答案會是0嗎?
: b
: =lim ∫ f(x)dx , 其中f(x)=x*e^[(-x^2)/18]/√(18π)
: -b
: b->∞
: 如此
: 當f(-x)=-f(x)時
: 其值為0...
直接回一篇,以下定義請隨意翻一篇微積分課本應該都有:
Definition:
t
(1)if ∫f(x)dx exist for t ≧ a,
a
∞ t
then ∫f(x)dx = lim ∫f(x)dx if this limit exists as a finite number
a t→∞ a
a
(2)if ∫f(x)dx exist for t ≦ a,
t
a a
then ∫f(x)dx = lim ∫f(x)dx if this limit exists as a finite number
-∞ t→-∞ t
∞ a
(3)if both ∫f(x)dx and ∫f(x)dx exist
a -∞
∞ ∞ a
then we define ∫f(x)dx =∫f(x)dx+∫f(x)dx (a can be arbitrary)
-∞ a -∞
∞ ∞ a
所以你要計算∫f(x)dx, 必須先算 ∫f(x)dx 和 ∫f(x)dx , 當兩者都收斂
-∞ a -∞
∞
∫f(x)dx 才存在 !
-∞
∞ 0
又這題經過簡單計算可發現∫f(x)dx 和 ∫f(x)dx 皆存在,因此由定義知道
0 -∞
∞ ∞ 0
∫f(x)dx 存在且等於∫f(x)dx +∫f(x)dx 之值
-∞ 0 -∞
你的作法錯在用了"錯誤的定義"
照你的錯誤定義計算
所有奇函數從-∞到∞的瑕積分都會收斂
但光是奇函數 f(x)=1/x^(2n+1) (n任取正整數) ,就已經為反例了(正確定義下不收斂)
故你用的錯誤定義無法相容於一般正確的瑕積分定義
再問一個更簡單的問題讓你發現你的定義不完備之處 :
我們憑什麼要求一個瑕積分跑到-∞和∞的速度要一樣?
如果你只要求最後上下限要跑到-∞和∞,憑什麼不能定義成下列這樣 :
∞ t^2
∫f(x)dx = lim ∫f(x)dx
-∞ t→∞ -t
或
∞ 2t
∫f(x)dx = lim ∫f(x)dx
-∞ t→∞ -√t
.
.
.
更甚者,我們根本會有無限種看似合理的定義方法且 "算出來答案還不盡相同"
那會是一場災難!
所以我們需要先要求單邊瑕積分運算就已收斂, 再把雙邊瑕積分定義成單邊和
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