Re: [中學] 多項式證明+多項式

[Tiderus (修煉人生)]

※ 引述《ding94xu04 (錯誤示範)》之銘言：
: 三題都想好久
: 證明題一點頭緒都沒有
: 證明題解答只有給個略，有點囧
: http://i.imgur.com/JeDYnyf.jpg
: 再次麻煩大家了Q__Q

1.
這題題目有錯嗎？

設H(x)=f(x)-g(x)-2x，則有0 < a < 1，使H(a)=0

H(x)= x^5 - x^4 + x^3 - 2x +5

H(0) =5，H(1)=4 ...？

2.
(1)
設f(x) = x^3 + ax^2 + bx +c
f'(x)=3x^2 + 2ax + b
畫圖觀察，若f(x)=0，有3相異實根，則
f'(x)有兩實根α、β（α<β）=> a^2 -3b >0
若f(x)=0，有3相等實根，則a^2 -3b ＝0


3.設H(x)=f(x)-g(x)，
H(x)=0有2重根 => H'(x)=0 與 H(x)=0 有1個公共實根(≠0)
=> H(x)-xH'(x)=0 與 H'(x)=0 與 H(x)=0 有一公共實根(≠0)


H(x)= x^3 - x^2 - (k+4)x +12
H'(x)= 3x^2 -2x - (k+4)

H(x) - xH'(x) = 2x^3 - x^2 -12 ＝(x-2)(2x^2 + 3x +6)

=> 公共實根為2 => k=4

--
迷途中唯一的導航 是對自己誠實

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.240.91.95
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1448292990.A.A59.html
※ 編輯: Tiderus (123.240.91.95), 11/23/2015 23:54:30
推 Desperato   : 1. 應該是題目錯了
→ Desperato   : 3. 可以代a, a, b根與係數
→ Desperato   : 2. 設三根p>=q>=r，則a^2-3b=(p-r)^2-(p-q)(q-r)
推 LPH66       : 試了一下, 第一題如果 6 後面有 x 或 x^2 就行了
→ LPH66       : 這樣就要問原 PO 有沒有漏抄題目
→ Tiderus     : a^2-3b=(p-r)^2-(p-q)(q-r) -->看無@@
→ Tiderus     : 懂了，太厲害了。

  Desperato大大不知道怎麼想到(p-r)^2-(p-q)(q-r)的？覺得真是太神啦！

      -(p+q+r)=a
      pq+qr+rp=b
          -pqr=c

  a^2 -3b = (p+q+r)^2 - 3(pq+qr+rp) = p^2 + q^2 + r^2 -(pq+qr+rp)
          = (1/2)*[(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2] ≧0


         (1/2)*[(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2]
        =(1/2)*{(p-r)^2 + [(p-q)+(q-r)]^2 -2(p-q)(q-r)}
        =(p-r)^2 -(p-q)(q-r)

r ≦ q ≦ p => (p-q)≧0 ，(q-r)≧0
        算幾： (p-q)(q-r)≦ { [(p-q)+(q-r)]/2 }^2 = (p-r)^2 /4

      (p-r)^2 -[(p-r)^2 /4] ≦ (p-r)^2 -(p-q)(q-r) ≦ (p-r)^2
      =>      (3/4)*(p-r)^2 ≦ (p-r)^2 -(p-q)(q-r) ≦ (p-r)^2
      =>      (3/4)*(p-r)^2 ≦ a^2 -3b ≦ (p-r)^2
      =>      (√3 /2)*(p-r) ≦ √(a^2 -3b) ≦ (p-r)
      =>      √(a^2 -3b) ≦ (p-r) ≦ (2/√3)*√(a^2 -3b)

→ ding94xu04  : 感謝回覆，第一題題目有誤害我想超久...
推 ding94xu04  : 這也太難想到了吧...
→ Tiderus     : 真的很難想到...
※ 編輯: Tiderus (123.240.91.95), 11/25/2015 01:43:02