[分析] PDE variation principle,poincare ineq.

[znmkhxrw (QQ)]

主要是在manifold (M)上很常看到Poincare inequality是compact support版本的：

There exists constant c such that
                                           ∞
c ∫ φ^2 ≦ ∫│▽φ│^2 , for all φ in C  (M) (space of smooth functions
   M          M                            c
                                                  with compact support)

簡單一點直接考慮R^n空間的話，
Poincare inequality就有

                                          ∞
c ∫ φ^2 ≦ ∫│▽φ│^2 , for all φ in C  (R^n) (smooth functions
   R^n        R^n                          c
                                                  with compact support)

可是variation principle是說

first eigenvalue of Laplacian operator (必定>0，因為是without boundary的case)

(以下令│f│_2 為L^2 norm 意即 ∫  │f│^2 )
                                R^n

            │▽f│_2
λ_1 = inf {─────：f,▽f€L^2(R^n) and │f│_2 > 0 }
            │f│_2


問題來了 對比Poincare inequality的話，純粹因為集合的大小關係我們有


            │▽φ│_2       ∞
λ_1≦ inf {─────：φ€C  (R^n) and │φ│_2 > 0 }
            │φ│_2         c

但是好像是成立的，是對的嗎？

我有嘗試自己證證看，利用C^∞_c(R^n) is dense in L^p(R^n)

但是仍不足，需要一個我不確定的性質，在此先不贅述，只是想先問熟這個的版友

等號是對的嗎？

也就是說，可以只對C^∞_c(R^n)取inf就可以是原本的λ_1了？


謝謝解惑

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→ NNAA        : 我覺得等號是對的, 因為証variational principle
→ NNAA        : 式子裡的 f 要取 H^1_0 的正交基底, 這組正交基底
→ NNAA        : 又可以在C^∞_c(R^n)找到
→ NNAA        : 所以利用 C^∞_c 在 H^1_0 稠密即可
→ znmkhxrw    : 對 我就是用了這個 但是還需要Rayleigh quotient是
→ znmkhxrw    : 連續函數 這部分有問題
→ kerwinhui   : 不用啊，varphi->||grad varphi||,||varphi||連續，
→ kerwinhui   : varphi非零即||grad varphi||非零便可