Re: [微積] 微分方程

[handsboy (真‧手男孩)]

※ 引述《supercake (求知若飢 虛心若愚)》之銘言：
: 題目是
:        A'(t)=A(t)^2+A(t)-1,A(0)=0
:        希望版上的大大們可以解惑 謝謝




很久沒碰了  而且答案丟 WolframAlpha 好像頗醜

Riccati eq 就是 y' =  y 的二次式 (ex. ay^2+by+c )

                          -u'(x)
最單純的做法就是 假設 y = -------  再帶回原式 可以得到 u 的 2nd ODE
                           a u(x)

                  -u'                        -u'u + (u')^2
所以 假設 A(t) = ----- (因為a=1), 則 A'(t) = ------------- 帶回原式
                   u                               u^2


       -u'u+(u')^2      (u')^2   -u'
 =>    ------------ =  ------- + --- - 1
           u^2            u^2     u


整理可得


 =>   u"-u'-u = 0    ( u 的 2nd ODE)

               1+√5          1-√5
              (-----)t       (------)t
 =>   u = c1 e   2     + c2 e    2


再將 u'求出 帶回 A(t) = -u'/u  及 A(0) = 0 應該可以得到 c1= (...)c2

整理一下應該就可以得到答案

但是真的有點醜  就有點懶得整理了XDDD

                                   (√5)x
                        (√5 - 1)(e      -1 )
wolfram 的答案是 A(t) = ---------------------
                                  (√5)x
                        (√5 - 3)e       -2


有錯幫糾正阿

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推 supercake   : 感謝大大  我有點頭緒了 沒想到會在商管學院考古題
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