[線代] 怎麼解釋norm (jacobi method

[loser113 (洨大魯蛇ㄍ)]

解線性方程AX=b jacobi疊代法 誤差是自己令的 要算向量的norm

我找到方法的誤差 他寫是

||b-A Xk|| / ||b-AX0|| 其中 X0為起始值 Xk為第K次疊代結果

norm計算是f (||.||f)

想請教怎麼解釋 這個誤差

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※ 編輯: loser113 (114.44.98.170), 12/03/2015 05:18:30
※ 編輯: loser113 (114.44.98.170), 12/03/2015 05:25:56
推 sin55688    : 一般是看resudual, r_k = || b- Ax_k||, 當r_k夠小
→ sin55688    : 則說數值方法收斂。分母多除一個常數||b-Ax_0||是相
→ sin55688    : 對誤差的概念。
→ doom8199    : 看你找到的資料怎麼用這個誤差。  單純看這個式子
→ doom8199    : 個人覺得沒用處, 因為 <1> X_0 是 initial guess
→ doom8199    : <2> 看誤差 or 收斂是算   X_(k+1) - X_(k)
→ doom8199    :  若 AX=b 無解, ||b-AX_k|| 最終收斂到何值是不一定
推 sin55688    : 若迭代法本身不收斂，看 x_(k+1) - x_k 也同樣情況
→ sin55688    : 在矩陣迭代法，第一步通常是確認迭代法是否會收斂，
→ sin55688    : ，如果會收斂就可以大方使用迭代法。
→ sin55688    : 然後收斂判定比較常使用r_k=b-Ax_k，比起用柯西，殘
→ sin55688    : 差更能表達數值解的收斂程度。如果是數值PDE、ODE等
→ sin55688    : 才比較常用x_(k+1)-x_k 這種判斷方式。這是我的見解
→ doom8199    : 樓上不對吧, 你說的 r_k 一般稱做 cost function
→ doom8199    : 目標是希望能找到一組 X, 使得 r 越大(小)越好
→ doom8199    : cost function 本身的數值並不是拿來判斷收斂與否
推 sin55688    : 如果x_k 收斂到真實解， 那r_k 會收斂到0
→ sin55688    : 在我常用的matlab fortran solver, 都是在用b-Ax_k
→ sin55688    : 判定是否收斂。|b-Ax_k|<TOL|b|則迭代收斂，TOL<<1
推 sin55688    : 我這裡只針對 "解線性系統Ax=b 的矩陣迭代法"
→ sin55688    : 這不是我的專長領域，有錯誤請指教。
推 doom8199    : 若有程式這樣子寫, 建議換一套 tool or 自己刻 lib
→ doom8199    : 網路上 google 到的 matlab, 幾乎是用 norm(x-x0)
→ doom8199    : 或是 norm(x-x0)/norm(x) 來當斂散性判斷
→ doom8199    : 直觀想也很簡單，因為 cost 不一定是 monotonic
→ doom8199    : 所以 x 變化很小，不代表 cost(x) 也一定是變化很小
→ doom8199    : 就算是線性系統也一樣
推 sin55688    : 會用 norm(x-x0) 是在已知解的情況下吧。
→ sin55688    : matlab內件的迭代法我看是檢查residual。IMSL也是
推 sin55688    : residual也蠻直關的。If x_k->x then r_k->0
→ doom8199    : 前面已經說過了, r_k 收斂至何值不一定, 可能是 0
→ doom8199    : 也可能是 0.1, 1,...
推 sin55688    : 如果r_k 不收斂到0，那迭代法根本不收斂阿...
→ loser113    :  不確定收斂 這是我找軟體R的
→ loser113    : 因為我上網找其他的資訊 好像沒有人用這種誤差
→ loser113    : 做收練標準 想問問要怎麼解釋 或幾何意義之類