推 Tiderus : 12/06 00:27
推 Nasca : 太強了~學到很多 12/06 00:35
推 Desperato : 推第二個作法 遞迴降階 12/06 01:05
※ 引述《Nasca (鐵齒金不換)》之銘言：
: 其實這是在做三次方程式根與係數碰到的，a b c 表三根
: a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)(a^2 +b^2 +c^2 - ab -bc -ca)+ 3abc
: 題目要求左式，就把根與係數用右邊等式算出
: 想請教大家該怎麼推導這等式? 還是當公式背起來@@
: 謝謝!!
法1.
a^3+b^3+c^3-3abc
= (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc
= (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2]-3ab(a+b+c)
= (a+b+c)[(a+b)^2-c(a+b)+c^2-3ab]
= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
法2.
令a,b,c為方程式x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0之三根
則x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=(x-a)(x-b)(x-c)
移項可得x^3=(x-a)(x-b)(x-c)+(a+b+c)x^2-(ab+bc+ac)x+3abc
分別代入a,b,c後得到的三式相加可得
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)(a+b+c)+3abc
因此 a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca)+3abc
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