推 Desperato : 推推 12/06 11:35
推 esrever : 感謝~ 不過最後一行看不太懂，可以多解釋一點嗎？ 12/06 23:51
我寫錯, 應該看g所induce的X -> Map(Z, Y),
如此那些x使g(x, K) ⊆ U就會是open.
※ 編輯: willydp (114.32.33.199), 12/07/2015 08:31:54
※ 引述《esrever (esrever)》之銘言：
: X, Y, Z 都是拓撲流形，f : X x Y -> Z 是一個連續映射
: 1. 如果 ∀ x ∈ X，f(x, -) : Y -> Z 都是同胚映射 (homeomorphism)，
: 那 g : X x Z -> Y, g(x, z) = (f(x, -))^(-1)(z) 會連續嗎？
Γ⊂X x Y x Z 是f的graph, 且Γ-> X x Y是同胚.
你對f的條件說Γ-> X x Z是個雙射, 根據
https://en.wikipedia.org/wiki/Invariance_of_domain
它是同胚.
故反映射X x Z -> Γ連續, 所以X x Z -> Y連續.
因為是流形, 所以可以偷懶.
: 2. x_0 ∈ X，U 是 Y 的開子集，K 是 Z 的緊緻子集且包含於 f(x_0, U)，
: 是否一定存在 x_0 的鄰域使得其中的每一點 x 都滿足 K ⊆ f(x, U)？
Map(Y, Z)有一個compact-open topology,
在X,Y,Z是compactly generated的時候會有個exponential law:
Map(X x Y, Z) = Map(X, Map(Y, Z)).
見:
http://ncatlab.org/nlab/show/compactly+generated+topological+space#cartesian_closure
因此從你的f會得到一個continuous map X -> Map(Y, Z).
根據compact open topology的定義, 結論會成立.
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※ 編輯: willydp (60.245.64.186), 12/06/2015 10:46:22
※ 編輯: willydp (60.245.64.186), 12/06/2015 10:48:15