Re: [中學] 函數相關

[Tiderus (修煉人生)]

※ 引述《ilovecurl (ilovecurl)》之銘言：
: Suppose that a,b and c are non-zero real numbers.
: Define h(x)=(ax+b)/(bx+c) for x≠-c/b.
: Determine all triples (a,b,c) for which h(h(x))=x
: for every real number x with x≠-c/b and h(x)≠-c/b
: 這題是學生問的問題,不過沒有解答,本身思路是以反函數的考量下去解的
: 但自己算的不算很有把握,所以上來求教
: 是否有大大能夠提供比較有把握的解答可供參考,謝謝!

不算有把握，就是試試看XD

設y=h(x)=(ax+b)/(bx+c)

(ay+b)/(by+c) = x => y = (b-cx)/(bx-a)

(ax+b)/(bx+c) = (b-cx)/(bx-a) => y = (a+c)x/(a+c) 〔加比〕= x
                                                          〔若a+c≠0〕

(ax+b)/(bx+c) = x => bx^2 +(c-a)x -b = 0

xεR => (c-a)^2 + 4b^2 ≧0
=> 咦？好像是任意實數？
(x≠-c/b and h(x)≠-c/b, a,b and c are non-zero)

其他請高手補充:)
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迷途中唯一的導航 是對自己誠實

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.240.91.95
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※ 編輯: Tiderus (123.240.91.95), 12/11/2015 22:39:21
推 LPH66       : 〔若a+c≠0〕  所以這就是所求條件
→ Tiderus     : 其實有點看不懂題目XD，是求a,b,c有啥限制？
→ Tiderus     : 才能使h(h(x))=x？
→ Tiderus     : 所以是要加上一個a≠-c，才能使h(h(x))=x？
推 ERT312      : 應該是a+c=0，如果a+c!=0,那y就要等於x啦
→ ERT312      : 條件是 h(y)=x,不是y=x
→ Tiderus     : 可是y=x的話，h(h(x))=h(x)=x，也符合？
→ Tiderus     : 不知道是哪裡出問題了。
推 Desperato   : h(x)=x是對所有x而言都要對才行
→ Desperato   : 所以bx^2 +(c-a)x -b = 0 代表b=c-a=-b=0
→ Desperato   : 而不只是x有解就好
→ w0a3y5n8e1  : x≠-c/b 如果b=0不會怪怪的嗎
→ Desperato   : b=0代表x是全實數啊ow o
推 w0a3y5n8e1  : 我的意思是你讓b=0 就會讓題目給的條件分母為0
→ w0a3y5n8e1  : x≠-c/b b=0 分母為0
→ w0a3y5n8e1  : 這樣是允許的嗎?
→ Tiderus     : 嗯，好像瞭解了，謝謝