Re: [中學] 函數相關

[ERT312 (312)]

※ 引述《ilovecurl (ilovecurl)》之銘言：
: Suppose that a,b and c are non-zero real numbers.
: Define h(x)=(ax+b)/(bx+c) for x≠-c/b.
: Determine all triples (a,b,c) for which h(h(x))=x
: for every real number x with x≠-c/b and h(x)≠-c/b
: 這題是學生問的問題,不過沒有解答,本身思路是以反函數的考量下去解的
: 但自己算的不算很有把握,所以上來求教
: 是否有大大能夠提供比較有把握的解答可供參考,謝謝!
h(x)=(ax+b)/(bx+c) , bx+c≠0 ---(條件一)
h(h(x))= {a(ax+b)/(bx+c) + b}/{b(ax+b)/(bx+c) + c}
       = {aax+ab+bbx+bc}/{abx+bb+bcx+cc}
       = {(a^2 + b^2)x + ab+bc}/{(ab+bc)x + (b^2 + c^2)}
       其中,(ab+bc)x + (b^2 + c^2)≠0 ---(條件二)

h(h(x))=x
→ (ab+bc)x^2 +(c^2 - a^2)x - (ab+bc) = 0 ---(方程式一)
(1) ab+bc≠0,  方程式一有兩實根 α,β
              ______________                    ______________
    α={a-c+√((a-c)^2+4b^2))}/(2b) , β={a-c-√((a-c)^2+4b^2))}/(2b)

    h(x)=(ax+b)/(bx+c)=x , bx^2 + (c-a)x - b = 0
    α,β 也是上述方程式的根, 即 h(α)=α=h(h(α)), h(β)=β=h(h(β))
    再加上條件一,二
    α≠-c/b
    α≠(b^2 + c^2)/(ab+bc)
    dom(h)={α}, h(α)=α -----------------❶
    β 同上 --------------❷

(2) ab+bc=0
    (i) c^2 - a^2 = 0，方程式一的解是 R
        ① 若a+c=0, 帶入條件二得到 b^2 + c^2≠0
           帶入條件一,若 b=0,c≠0,a=-c,
           dom(h)=R, h(x)=-x    -------------❸
           若b≠0, x≠-c/b, a=-c,
           dom(h)=R\{-c/b}, h(x)=(-cx+b)/(bx+c)   ------❹
        ② 若a=c=0, 帶入條件二得到 b≠0，帶入條件一得 x≠0
           dom(h)=R\{0}, h(x) = 1/x ---------❺
        ③ 若a=c≠0, b=0
           dom(h)=R, h(x)=x -------------❻
    (ⅱ) c^2 - a^2 ≠ 0，方程式一的解是 {0}
         a+c≠0 且 a-c≠0 且 b=0
         dom(h)={0}, h(0)=0 -------------❼

大致上就以上❼種情況，不知道有沒有漏掉
題目的敘述， dom(h) 應該是 R\{-c/b}
❸❹❺❻都有可能
若再加上b≠0,就只剩下❹
(❺是❹的特例)

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→ w0a3y5n8e1  : 條件一和條件二是不是應該給出b^2=ac 畢竟x只避開x
→ w0a3y5n8e1  : ≠-c/b
→ ERT312      : 考慮 h(h(x)) 時還要避開 h(x)=-c/b 的點
→ ERT312      : 因為 dom(h。h) ⊂ dom(h)
→ w0a3y5n8e1  : 樓上你說的太文言文 我看不懂哈哈
→ w0a3y5n8e1  : 我的意思是 在h(x)=-c/b 時的x應該要=-c/b 所以b^2=
→ w0a3y5n8e1  : ac
這個一般來說不一定成立
例如考慮 h(x)=(x+1)/(x+2) , 也就是 a=1, b=1 ,c=2 的情況
當 h(x)= -c/b = -2 時, x= -5/3≠-c/b
條件一是讓 h(x):=(ax+b)/(bx+c) well defined
條件一加條件二讓
(h。h)(x):={a(ax+b)/(bx+c) + b}/{b(ax+b)/(bx+c) + c}  well defined
→ w0a3y5n8e1  : 不過我看你4的條件沒有這個 這樣不就會有兩個x出問
→ w0a3y5n8e1  : 題
→ w0a3y5n8e1  : 一個是-c/b 另一個是使h(x)=-c/b那點 這樣後面的x
→ w0a3y5n8e1  : 不會與題目說對所有實數x均成立衝突
※ 編輯: ERT312 (218.164.169.138), 12/13/2015 19:34:54
推 Tiderus     : (ab+bc)x^2 +(c^2 - a^2)x - (ab+bc) = 0
→ Tiderus     : => (c+a)[bx^2 + (c-a)x + b^2]=0
→ Tiderus     :                        -
→ w0a3y5n8e1  : 就你舉的例子而言 若要讓h(h(x)) well definded
→ w0a3y5n8e1  : x≠-5/3 且要讓h(x)well definded
→ w0a3y5n8e1  : x≠-2 就我對題目解讀:除了x≠-c/b(這裡也就是-2)
→ w0a3y5n8e1  : 所有real x皆滿足 那這裡-5/3? 所以我提那個式子是
→ w0a3y5n8e1  : 為了強迫 讓兩個值為同一值 不知道這樣有沒有讓我
→ w0a3y5n8e1  : 的意思更好的闡述了
推 w0a3y5n8e1  : 還是說題目這樣敘述 是把兩個x值排除 你的意思我有
→ w0a3y5n8e1  : 明白 其實我只是對癥結在對這題目解讀Q
a=1, b=1 ,c=2　的情形，再加上 h(h(x))=x (方程式一) 的條件後
(方程式一)只有兩個解 α,β
也就是說 h。h 的定義域最多只有兩點 {α,β}
當然要限縮成一點也可以同時滿足條件一,二跟方程式一
如果一開始就限定 h 以及 h。h 的定義域是 R\{x|x不滿足條件一,二}
就可以馬上排除 ab+bc≠0 的情形
方程式一要有無限多解
→ b(a+c)=0 & (a+c=0 or a-c=0)
若再加上 b≠0 這個條件，就會推出 a+c=0
(這個條件似乎沒有明言?)
最後把 b≠0 & a+c=0 帶入條件一,二，確保 (h。h)(x) well defined.
bx+c≠0 ---(條件一)
(ab+bc)x + (b^2 + c^2)≠0 ---(條件二)
由條件一得到 x≠ -c/b
條件二自動滿足
所以 b≠0 & a+c=0, dom(h) = dom(h。h) = R\{-c/b}
這是❹的推論過程
※ 編輯: ERT312 (218.164.169.138), 12/14/2015 08:22:34
推 w0a3y5n8e1  : 哦! 有看到了
→ w0a3y5n8e1  : 到底題目敘述x≠-c/b有沒有imply b≠0 ?這也是我滿
→ w0a3y5n8e1  : 好奇的
推 LPH66       : 那個, 題目第一行...
→ ERT312      : 啊...擦一下眼鏡
→ w0a3y5n8e1  : 如果沒有第一行呢?
→ w0a3y5n8e1  : 還是題目不會這樣犯蠢不嚴謹
推 ilovecurl   : 這個看起來蠻完整的..我是討論到後面覺得有點複雜
→ ilovecurl   : 所以沒什麼把握,這篇我再認真研究一下,感謝!