推 namekevin : 謝謝 Desperato 的解說~看來還是要用這概念解 12/20 19:17
→ namekevin : BTW 你的圖超精美的~PTP畫出函數圖好強!! 12/20 19:17
→ namekevin : 簡單清晰 一目了然 12/20 19:18
※ 引述《namekevin (n n)》之銘言：
: 各位大大好，有三題高中多項式的題目想要請教
: 2.題目:設函數f(x)=X^3+3X^2+19，α,β為實數，已知f(α)=15， f(β)=27
: 求α+β=?
: 答案 -2
: 參考詳解:http://imgur.com/OCkoXiW
: 問題點:詳解太技巧了QAQ，原本試著用乘法公式去解但無法，
: 想請問來有沒有其他的方法 (高中範圍)
其他恕刪。騙點P幣。沒有其他方法(欸)
基本上詳解的想法與思路是正確的，可是奇函數的部分說明是錯誤的。
這題的關鍵是三次方程式的特有性質。
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令 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
那麼 f(x) 上會有一C點 (-b/3a, f(-b/3a))
平移 f(x)，使得C點和原點重合，變成新的方程式 g(x)
(Claim) g(x) 是奇函數 ; g(-x) = -g(x) ; g(x)點對稱於原點
(pf) g(x) = f(x-b/3a) - f(-b/3a)
= [a(x-b/3a)^3 + b(x-b/3a)^2 + c(x-b/3a) + d]
- [a(-b/3a)^3 + b(-b/3a)^2 + c(-b/3a) + d]
= a[x^3- 3(b/3a) x^2+3(b/3a)^2 x] + b[x^2-2(b/3a)x] + cx
= ax^3 + [b^2/3a - 2b^2/3a + c]x
= ax^3 + (c-b^2/3a)x
= a(x^3 + kx), k = c/a - b^2/3a^2
因此 g(x) 由 x^3 和 x 所組成，所以是奇函數。後面兩個是奇函數性質。
簡單來說，f(x)點對稱於C點。
這個C點稱為反曲點，每個三次多項式都存在唯一一個反曲點。
因此三次多項式的圖形可以分成以下三種(假設首項係數大於0)：
(A) k>0 (B) k=0 (C) k<0
* * *
* * *
* * M *
c *c* * c *
* * * m
* * *
* * *
(A) 沒有區域極大極小值
(B) 沒有區域極大極小值，在c那點的切線是平的
(C) 有一個區域極大值M，區域極小值m。M和m是對稱點。
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回到原題。設點A(α,f(α))，點B(β,f(β))
詳解基本上，就是先猜A和B八成是對稱點
如果是這樣的話，C就是AB中點，所以α+β就是C點x坐標兩倍
然後寫錯的地方是，如果g(x)是奇函數，則「g(a) = -g(b) => a = -b」
箭頭反過來就對了，不反過來是錯的。
錯的原因是，即使a不等於d ，g(a)大可以等於g(d)
所以g(d) = g(a) = -g(b) 但是 d =/= a = -b
因此，證明必須要加上，如果g(a) = g(d) 則 a = d
i.e. 對到g(a)值的數只有a一個
y = g(x)
*
----------B--- y = 6
*
M *
* c *
* m
*
--A----------- y =-6
*
詳解中的g(x)已經把C點移到(0, 0)了
M 和 m 發生在 (-1, 2) 和 (1, -2) 的地方
(怎麼算又是另一篇...反正先知道下面這行是對的吧，可以用試的猜出來。)
所以 y = 6 和 y = -6 和 y = g(x) 都各只交於一點 B, A
把 B 點和 y = 6 一起對稱到對面去 變成 B' 點和 y = -6
y = -6 和 y = g(x) 既交於A點也交於B'點，因此他們是同一點
因此A和B是確實的對稱點，以下證明都相同。
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嗯嗯ow o
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