※ 引述《HmmHmm (凝結的時間)》之銘言：
: 上代數曲線或 intersection theory 的時候都有教過
: 兩條曲線 (f=0) and (g=0) 在原點 intersection multiplicity
: 可以由 dim C[[x,y]]/(f,g) 定義
: 想請問大家，如果我想推廣這個定義到高維
: 特別是在 n 維空間裡一個 hypersurface 跟 任意維的 subvariety 或 submanifold
: 交在原點的 tangency 情況, 有什麼比較好的定義方法嗎?
: (假設在交點都是 smooth)
: 我現在想到的只有:
: 相交 transversal 的情況有嚴格的定義, 或者 第二個subvariety 是 curve
: 那可以用 local ring = DVR 來算
: 其他？？ 或是其他的方法來定義 tangency 的情況？？
我相信大師想問的問題很深, 大師可以把問題講得更詳細嗎?
大師您想問的是higher order的tangency? 還是multiplicity?
如果只是要談1st order的multiplicity:
Fulton的intersection theory的作法: MacPherson's graph construction
假設ambient space X是smooth.
現在要看二個variety U, V相交, 等於是看U x V ⊆X x X和diagonal X的intersection
現在diagonal X是個regular embedding, 所以有normal bundle.
利用deformation to normal cone, U x V會在diagonal的normal bundle上面induce
一個subcone (想像上就是那些diagonal X上, 會掉進U x V的normal vector)
最後把這個subcone交集這個normal bundle的zero section
(這邊需要用到characteristic classes的構造), 就是U和V的intersection了.
如果要看higher order的話, 也許可以看Nash的arc space?
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