Re: [中學]兩邊和大於第三邊和

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《max0213 (maxchen)》之銘言：
: 我是不知道證明要多嚴謹啦，只是這個小"定理"不難證明吧。
: 在紙上畫一線段c分a.b兩段，
: a.b要有夾角當然要比c大啊。
: a+b=c就會是一直線了。


http://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf

翻了一下幾何原本中對於這個定理的證明。

1. 非常好奇有沒有其他版本的幾何公理
因為歐幾里德的寫法難懂的誇張，而且還有一堆隱藏版公理...
(不過作為公理系統首創者，這樣的敘述法已經是逆天的強了)


2. 現在來找，三角函數和兩邊和大於第三邊的關係

基本上，sin: /theta -> b/c 這種函數定義法
如果要well define, 就imply了「所有一角為/theta的直角三角形，b/c值都一樣」
也就是說，擁有同樣銳角的直角三角形相似。

第6章在說相似三角形
Prop 6.4 就是證明對應角相等的兩三角形相似
(我不確定如果有一角是直角會不會有別種證法)
他用到了同位角相等 [Prop 1.28] 基本上等價於內錯角相等 [Prop 1.27]
然後內錯角相等居然用反證法(對我嚇到了)，用上了外角比內角大 [Prop 1.16]
(話說回來，他前10個Prop內用了一堆反證法)

我們要證的東西，兩邊和大於第三邊，是 [Prop 1.20]
其他還有大角對大邊 [Prop 1.19]  大邊對大角 [Prop 1.18]
外角比內角大 [Prop 1.16] 兩內角和小於兩直角和 [Prop 1.17]

在等邊對等角 [Prop 1.5]  等角對等邊 [Prop 1.6]  以及其他公理的前提之下
Prop 1.16-1.20 以及 1.27, 1.28 應該通通是等價的
(例如只要能用1.28證出1.16的話)
不過聽說Prop 1.16偷用了一個Postulate，所以事情變得難說了(欸)

在這個情況下，三角函數在一系列三角形性質之後
基本上是不能拿來證兩邊和大於第三邊的

不過用座標幾何的單位圓
或甚至exponential定義的三角函數，我就不知道了。


3. 還有另一個方法。

畢氏定理在 [Prop 1.47]
由於畢氏定理的證法有幾百種，暫時先當成已知Theorem
(不過說不定這幾百種的核心關鍵都一樣。難說)

餘弦定理(對，居然有XD)在 [Prop 2.12], [Prop 2,13]
基本上完全來自畢氏定理和一些代數條件 (例如 (a+b)^2的分解式)
p.s. Euclid在第二章的代數條件是用幾何表示的，其實重度使用了第一章內容
噢，還有一個，就是他必須畫垂直線 [Prop 1.12] 不過這好像還好

這樣的話說不定真的可以抓著餘弦定理去證兩邊和大於第三邊

搞到這樣我都覺得，這堆東西該不會
在某幾個條件之下，其實通通都是等價的吧...



4. 其他

Euclid在第5章定義的proportion有個創舉
(以下使用a, b, c代表任何長度，m, n, k代表正整數)
就是他允許使用 a : b ，即使 a 和 b 不是他所熟知的正整數或正整數比值(有理數)
但是 a : b 的比值還是只能是整數(7-9章可能有拓展到有理數)
這代表，他可能連定義sin45度都有困難

第10章在說無理數的部分，不過我有點懶得看
算了，反正我們自己加上實數系就是了...



5. 其他2

感覺幾何這邊的公理好雜亂阿。是因為我看的是幾何原本嗎?
話說回來突然想到，為什麼R^n會叫做Euclidean space啊
坐標系統又不是Euclid發明的，他沒有這個概念吧
Euclidean Algorithm才是貨真價實他的東西啊(或至少他記錄的)


6. 我到底在打什麼...

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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 27.245.23.113
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1450544802.A.0AF.html
→ motivic     : R^n歐式空間 是因為一般沒特別講的話 都用歐氏距離
推 alfadick    : 推! 言之有物的討論! 數學版就該這樣~
→ alfadick    : 不是在那邊沒講公設系統 各扯各的
→ max0213     : 你說中文嗎？
→ wohtp       : 我以為Euclidean space的名字是來自平行線公理？
→ wohtp       : 除了Minkowski這個神經病，其他非歐空間好像都是彎
→ wohtp       : 的嘛
→ kerwinhui   : 真的想用接近現代的treatment的話，應該用Hilbert
→ kerwinhui   : 或者Tarski。如果是比較國高中能理解的角度，可以考
→ kerwinhui   : 慮用Birkhoff(但會用到實數，並非self-contained)
→ Desperato   : 推樓上 我後來就找到了XD
→ Desperato   : 喜歡Birkhoff的版本 很簡潔(反正實數我會)(欸