推 ghytrfvbnmju: 阿期數的確是算錯了XD 我在上一篇的留言有改了QQ 12/25 17:07
→ ghytrfvbnmju: 還有按計算機也被發現了XDDDD 12/25 17:08
→ coco100 : 感恩!!謝謝您的熱心講解~~ 12/25 17:11
※ 引述《coco100 (童話故事的最後)》之銘言：
: [題目] 某人購屋貸款200萬元，銀行複利計息，月利率0.5%，借滿一個月後，
: 按月每月均還X元，20年共240期滿還清，試問X為多少元？ (四捨五入到百元為止)
: (log1.005=0.0022，log3.37=0.5276，log3.372=0.5279，log3.373=0.528)
: [答案] 14200
以下用 M 表示最初的本金，r 為利率，n 為期數
這題 M = 2000000, r = 0.005, n = 240
: → ghytrfvbnmju: 借貸總金額=200萬*1.005^240 12/25 16:26
: → ghytrfvbnmju: 還款金額=x*(1+1.005+...+1.005^240) 12/25 16:26
: → ghytrfvbnmju: 就看成每個月存x元進去，經過0.5%複利20年剛好存夠 12/25 16:27
ghy 的方法的理解方式是這樣的
每次我們複利時把帳面上已經還掉的錢一起跟著複利
因為所有錢都跟著一起複利了，所以在 n 期之後所有錢的總量是 M*(1+r)^n
然後 n 期之後所有錢都還完了，所還的錢套上複利正好等同於定存到最後的總金額
所以就能列出等式
他的式子的問題在於期數算差了
因為是 n 期還完的關係，最初還的錢只被"複利" n-1 次
所以第二行應是 x*(1+(1+r)+(1+r)^2+...+(1+r)^(n-1))
(或者可以這樣看：n 期還完所以括號裡要有 n 項，所以要到 n-1 次方)
這樣列出的式子是 M*(1+r)^n = x * [(1+r)^n - 1] / r
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如果直接來看的話
一開始貸款 M 元，一個月後變成 M(1+r) 元，還 x 元，剩下 M(1+r) - x 元
(這裡利息共 Mr 元，所以 x 元裡有 Mr 元還利息，剩下的 x-Mr 元還本金)
第二個月變成 [M(1+r) - x]*(1+r) 元，還 x 元，剩下 M(1+r)^2 - x(1+r) - x 元
(利息 r*[M(1+r)-x] 已經不等於 Mr 了，所以這 x 元還的本金也不同)
第三個月依此類推，到第 n 個月剩下
M(1+r)^n - x(1+r)^(n-1) - x(1+r)^(n-2) - ... - x = 0 元
可以看到這樣列出來的式子跟上面得到的結果是一樣的
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那麼實際代值進去算吧
log 1.005^240 = 240 * log 1.005 = 240 * 0.0022 = 0.528
故 1.005^240 = 3.373
代入即可解得 x 約為 14214，四捨五入後答案為 14200
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14300 的答案來源或許是直接拿計算機按 1.005^240 了
因為事實上由於題目中 log 1.005 只給兩位有效數字
240*log 1.005 的 0.528 並不精準 (而且其實差滿多的:
log 1.005 稍微精確一點的近似值是 0.002166，乘以 240 得 0.51984
這差不多是 log 3.31，從這裡算就會得到 14300 了)
不過既然題目都給了 log 3.37, log 3.372, log 3.373
那就照這個 log 值去算就好
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