[分析] 實數定義

[znmkhxrw (QQ)]

問個奇怪又想不通的問題XD

學數學到現在覺得1,2,3...e,pi,2/3...都是實數 而i不是實數

也知道實數有很多等價定義與建構法

但是一直以來有個問題如下：


以Apostol對於實數的定義法，實數R是一個非空集合，滿足10個公設

既然已經有定義了，那就可以開始argue一個元素是不是實數

EX：證明"1"是實數

    證明"i"不是實數

然後我發現....完全不知道該怎麼下手，因為問題就來到了什麼是1 什麼是i

也就是說，從定義實數R是"一個非空集合，滿足10個公設來看"，根本看不出實數長像

有種雞生蛋蛋生雞的感覺...

（是否這種定義法不好，需要用有理數來定義才嚴謹?）


這問題從接觸數學就有了...只是不知道實數嚴格定義的情況下也無傷大雅

但是知道的話會很開心XDDD

謝謝解惑(‧^ω^‧)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 61.231.71.179
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1451484764.A.6E2.html
推 woieyufan   : 1有乘法單位元的數學意義 不知道幫不幫得上
@@" 願聞其詳

推 ntust661    : 酷哦@@!
推 mnxcs       : 有Axiomatic或urelement的方法定義
→ mnxcs       : 看你要用Set定義還是直接當primitive notion
所以光是說一個非空集合有10個公設還是不夠??

→ wohtp       : 你不能光給一個 1 問它是不是實數啊，實數是那一整
→ wohtp       : 個集合
→ wohtp       : 所以你該問的是：我們所知的實數是不是實數
是呀 根據Apostol那說法 實數是一個被定義出來的集合 已經定完的話

那"1/2"有沒有落在這集合中(等價於 1/2 是不是實數集中的元素)

應該是可以證明或是反證的吧??

※ 編輯: znmkhxrw (61.231.71.179), 12/30/2015 22:50:43

或者說 有沒有更簡單得看法 我問題得起源在於 之前沒想過"為什麼" 1/2 pi e 是實數

i不是實數

直到有一天想要知道的時候 發現我沒有完整的了解實數定義 自然無法回答

所以才去選定一個實數定義 去試著回答

但是採用Apostol這定義後 我發現沒辦法證明我要的東西

大概是這樣~~
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.71.179), 12/30/2015 22:52:56
→ wohtp       : 你回去看那十個公設，講的都是集合裡面的元素互相之
→ wohtp       : 間的關係。
→ wohtp       : 所以你不能拿一個元素來問這是不是實數，因為我們不
→ wohtp       : 知道集合裡面還有什麼東西
推 APM99       : 很簡單阿  連大小都不能比  當然不是實數
→ wohtp       : 這麼說好了，如果你的 1 是從一個符合那十條公設的
→ APM99       : 推文是在回答什麼阿?
→ wohtp       : 集合裡面找出來的，那它就是實數
→ wohtp       : 所以就是說你要先證明R是實數的集合，然後R裡面的 1
→ wohtp       : 就是實數
推 PPguest     : 跟w大類似。我是這樣覺得,例如0,1/2,pi等我們熟知的
→ PPguest     : 實數，他們代表著 符合那十條公設的那個集合 裡面的
→ PPguest     : 特定元素。例如0代表加法單位元素，1代表乘法單位元
→ PPguest     : 素。因此，不需問是否有落在那集合，而是它代表了怎
→ PPguest     : 樣的元素。
了解~~謝謝
※ 編輯: znmkhxrw (42.72.36.16), 12/31/2015 09:59:27
推 suhorng     : 其實事實上就是這樣的吧，因為一開始就直接用，結果
→ suhorng     : 模模糊糊，於是我們重新構造出這些東西。從此以後，
→ suhorng     : 我們用的那些符號數字就是指我們構造出來的東西裡的
→ suhorng     : 元素