推 znmkhxrw : 謝謝~! 12/31 10:02
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 問個奇怪又想不通的問題XD
: 學數學到現在覺得1,2,3...e,pi,2/3...都是實數 而i不是實數
: 也知道實數有很多等價定義與建構法
: 但是一直以來有個問題如下：
: 以Apostol對於實數的定義法，實數R是一個非空集合，滿足10個公設
: 既然已經有定義了，那就可以開始argue一個元素是不是實數
: EX：證明"1"是實數
: 證明"i"不是實數
: 然後我發現....完全不知道該怎麼下手，因為問題就來到了什麼是1 什麼是i
: 也就是說，從定義實數R是"一個非空集合，滿足10個公設來看"，根本看不出實數長像
: 有種雞生蛋蛋生雞的感覺...
: （是否這種定義法不好，需要用有理數來定義才嚴謹?）
: 這問題從接觸數學就有了...只是不知道實數嚴格定義的情況下也無傷大雅
: 但是知道的話會很開心XDDD
: 謝謝解惑(‧^ω^‧)
其實慢慢建構應該會有感覺
實數有三大公理系統
體公理
序公理
完備公理
如果光看體公理，的確是看不出實數的長相
因為符合體公理的模型很多，有有限體有無限體，彼此不同構
但是再加上序公理，可以看看會怎樣
首先0,1是體公理指定的相異兩元素
再來我們要證明 a>0 → 0>-a → a>0
a>0
a+(-a)>0+(-a) Axiom 7 (Apostol)
0>-a
0+a>(-a)+a Axiom 7
a>0
再來證明 1>0
若 0>1 則 -1>0 (由上面已證)
-1>0
-1*-1>0 Axiom 8
1>0 -a*-b = a*b，這是體公理的定理
因此證明了 1>0 Axiom 6
1>0
1+1>0+1 Axiom 7
2>1
2+1>1+1
3>2
0>-1
0+(-1)>-1+(-1)
-1>-2
-1+(-1)>-2+(-1)
-2>-3
可以看出 ...3>2>1>0>-1>-2>-3>......
考慮乘法反元素後大概可以猜出最小的有序體是 Q
再加上完備性之後是 R
粗略來講是這樣
比較完整的方法是從集合開始建構
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