Re: [分析] 實數定義

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 問個奇怪又想不通的問題XD
: 學數學到現在覺得1,2,3...e,pi,2/3...都是實數 而i不是實數
: 也知道實數有很多等價定義與建構法
: 但是一直以來有個問題如下：
: 以Apostol對於實數的定義法，實數R是一個非空集合，滿足10個公設
: 既然已經有定義了，那就可以開始argue一個元素是不是實數
: EX：證明"1"是實數
:     證明"i"不是實數
: 然後我發現....完全不知道該怎麼下手，因為問題就來到了什麼是1 什麼是i
: 也就是說，從定義實數R是"一個非空集合，滿足10個公設來看"，根本看不出實數長像
: 有種雞生蛋蛋生雞的感覺...
: （是否這種定義法不好，需要用有理數來定義才嚴謹?）
: 這問題從接觸數學就有了...只是不知道實數嚴格定義的情況下也無傷大雅
: 但是知道的話會很開心XDDD
: 謝謝解惑(‧^ω^‧)

雖然a大和E大都說過一樣的事情了，不過想要再打一次


僅從公設裡頭，直接知道的兩個數只有兩個
0: 加法單位元素，在實數裡是我們熟知的0
1: 乘法單位元素，在實數裡是我們熟知的1

如果我們要問2有沒有在這個實數集合裡面
首先我們要定義2：因為加法具有封閉性，1+1必須是個實數
定義2就是那個1+1(才符合我們對2的認知)
可是這樣定義完之後，2當然廢話就在實數裡面了

所以其實問題從「2是否在實數裡」
變成「2有沒有辦法在實數系裡被定義出來」

正整數屬於實數，就1+1+1...一直加下去就好了
負整數屬於實數，因為每個正整數n都是實數，因此有加法反元素-n
有理數屬於實數，因為每個非零整數q都是實數，因此有乘法反元素1/q
                然後有理數是p*(1/q)，乘法具有封閉性
所有小數(數線上所有點)屬於實數，
                因為每個小數都可以用十分逼近法寫出一條遞增的數列
                然後根據實數的完備性，極限值也就是那個小數是個實數

i不屬於實數，因為i滿足x^2=-1，但是x在實數裡無解
因此所有非純實數的虛數a+bi，因為都帶有i不在實數裡面
正負無限大也不在實數裡面，不管是從1/oo=0還是oo+1=oo來看

從這邊也可以看出來，實數的公設
剛好就能讓你生成原本熟知的實數系
會用這些公設，應該就是簡潔直接好用吧XD
不然從正整數整數有理數一層一層生出來很麻煩耶

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嗯嗯ow o

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推 alfadick    : 一層一層生出來 我覺得比較漂亮耶XD
→ alfadick    : 這是我目前的感覺. 我也沒很仔細念那邊就是了
→ alfadick    : 公設下太多條, 會隱約感覺人為的味道太重
→ alfadick    : 但如果從Peano公設->整數->有理數->Dedekind搞實數
→ alfadick    : 感覺每一步所下的定義 都很根本很簡潔
推 recorriendo : 「剛好就能讓你生成原本熟知的實數系」這命題是
→ recorriendo : nontrivial 因為你不知道還有沒其他model也滿足這些
→ recorriendo : 公設  當然事實上是可以證明「滿足這些公設的集合都
→ recorriendo : 同構」 也就是公設訂出來的實數系和一層一層生出來
→ recorriendo : 的一定一樣 但這絕對不是簡單「看出來」的
推 suhorng     : i跟無限大那邊不對吧,根本還沒有這兩個東西的定義呀
→ suhorng     : x^2=-1在R裡無解沒錯,但接著要擴大造出體讓x^2=-1在
→ suhorng     : 裡面有解也不是生來就有的
推 mnxcs       : Moschovakis的Note on set theory可以參考一下