[微積] 微積分

[semmy214 (陳山河)]

∞
∫exp(-(1/8)u^2) du =√8π
-∞

令 a = ∫ exp(-u2 /8) du = ∫ exp(-v2 /8) dv
令 u = rcosθ , v = rsinθ
dudv = rdrdθ
a2  = [∫ exp(-u2 /8) du][∫ exp(-v2 /8) dv)]
= ∫∫ exp(-u2 /8) exp(-v2 /8) dv du
= ∫∫ exp(-(u2 +v2 )/8) dv du
= ∫(0→2π)∫(0→∞) exp(-(r2 )/8)r dr dθ
= ∫(0→2π)∫(0→∞) exp(-(r2 )/8)/2 d(r2 ) dθ
= ∫(0→2π) -8exp(-(r2 )/8)/2 | (0→∞) dθ
= ∫(0→2π) [0-(-8)/2] dθ
= 8π


上述是某論壇網友的解法
但我想問-∞積到∞ 不是對上半圓積分也就是0→π
但上面算式角度是從0→2π r是從0→∞ (請版上高手解釋一下)



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推 fermion     : 兩個變數，上下險均為正負無窮，故0→2pi
→ fermion     : 上下限