[分析] 請教如何詮釋

[tiwsjia (佳佳)]

前陣子一位朋友告訴我一件有趣的事：

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考慮任意的常微分方程

    q_t = -f(q)

其中 q 是個 n 維向量。假設 f 可微分，考慮

    (p_t)^T = p^T f'(q)

其中 p^T 是 p 的轉置（transpose）。

定義 H(q,p) = p^T f(q)，容易證明沿著解的軌跡 H_t(q,p) = 0，

亦即 H 是一個 Hamiltonian。

＿＿＿＿＿

他因此宣稱常微分方程本質上都是 Hamiltonian 系統，畢竟他只假設 f 可微分。

當然他必須把關於 p 的方程加進去才變成 Hamiltonian 系統，而關於 p 的方程
我認為應該是關於 q 的方程做線性化和 adjoint。

想請教板友們以上論證有什麼物理上或數學上的意義，還是只是文字遊戲？

感謝！

佳佳

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→ wohtp       : (p_t)^T = p^T f'(q) 這個，左邊向量等於右邊純量？
→ wohtp       : 等下這樣也不對，f(q)是向量，那f'(q)是二階張量？
→ wohtp       : 好吧，那是向量等於向量沒錯
→ recorriendo : Legendre transform?
→ recorriendo : https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_transform
→ recorriendo : 之前看理論力學也覺得這地方有點奧妙
→ tiwsjia     : 感謝！感覺很有啟發，但還不是很懂，能否再給提示？
→ recorriendo : 我也沒有搞很懂XD 應該看變分理論的書會比較清楚