Re: [中學] 組合級數

[XII (Mathkid)]

※ 引述《Intercome (今天的我小帥)》之銘言：
:   日前碰到一個求組合數加總的問題，一直沒有頭緒下手，請問版上各位高手
:   問題：1/C(n,1) + 1/C(n,2) + ... + 1/C(n,n) = ?
:   再請各位高手能夠提供想法，謝謝!

設 a(n)=1/C(n,0)+1/C(n,1)+..+1/C(n,n)

2a(n)

=Σ_{k=0,..,n} {1/C(n,k)+1/C(n,n-k)}

=4+Σ_{k=1,..,n-1} {k/(nC(n-1,k-1)+(n-k)/(nC(n-1,n-k-1)))}

=2+Σ_{k=1,..,n} {k/(nC(n-1,k-1))} + Σ_{k=0,..,n-1} {(n-k)/(nC(n-1,n-k-1))}

=2+Σ_{k=0,..,n-1} {(n+1)/(nC(n-1,k))}

=2+((n+1)/n)a(n-1)

=> a(n)=((n+1)/(2n))a(n-1)+1

a(0)=1

a(1)=2

a(2)=5/2

.....

可導出

a(n)=(n+1)(1/(2^0(n+1))+1/(2^1(n))+1/(2^2(n-1))+..+1/(2^n(1)))

但我不確定能否再化簡...

ps. 原題要的是 a(n)-1

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※ 編輯: XII (140.122.136.42), 01/07/2016 11:25:36
推 Intercome   : 原來要用到遞迴數列阿，謝謝解答!
推 LPH66       : 找了一些資料, 目前有的顯式都是級數和
→ LPH66       : OEIS A046825/A046826, A046878/A046879 有相關資訊
→ LPH66       : 所以要求值的話大概遞迴關係式會簡單一些