※ 引述《rexx0520 (Rex T.)》之銘言：
: 若有一圓內接四邊形ABCD
: 內部可找到一點P使得角PAB=角PBC=角PCD=角PDA
: 證明AB×CD=BC×DA
: 求解...
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回想去年三月初
問到的那題"布羅卡角"
http://mathworld.wolfram.com/BrocardAngle.html
把當中(1)&(9)拿出來證
(至於怎麼來的,可去"痞客幫"搜尋"Brocard角的一些性質")
為了計算方便
不妨設面積為S,AB=a,BC=b,CA=c,DA=d
將(9)寫成此題"正弦形式"可知
sin^4(w)=sin(A-w)sin(B-w)sin(C-w)sin(D-w)
=sin(A-w)sin(A+w)sin(B-w)sin(B+w)
=[sin^2(A)-sin^2(w)][sin^2(B)-sin^2(w)]...恆等式sin(x-y)sin(x+y)=sin^2x-sin^2y
=> csc^2(w)=[1/sin^2(A)]+[1/sin^2(B)]
=1+cot^2(w)
=1+[(a^2+b^2+c^2+d^2)/(4S)]^2...再用到(1)之性質
如此消去"平方關係"後
(4S)^2+(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=(4S/sinA)^2+(4S/sinB)^2
此時S=(1/2)(da+bc)sinA&(1/2)(ab+cd)sinB代入得到
[2(da+bc)sinA]^2+(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=4(da+bc)^2+4(ab+cd)^2
(a^2+b^2+c^2+d^2)^2=[2(da+bc)cosA]^2+[2(ab+cd)]^2
=(d^2+a^2-b^2-c^2)^2+[2(ab+cd)]^2...公式cosA=(d^2+a^2-b^2-c^2)/[2(da+bc)]
最後用"平方差"公式
整理成
(d^2+a^2)(b^2+c^2)=(ab+cd)^2
b^2d^2 + a^2b^2 + c^2d^2 + c^2a^2 = a^2b^2 -2abcd + c^2d^2
(ca)^2-2(ca)(bd)+(bd)^2=0
配平方後
(ca-bd)^2=0,ca=bd
亦即
AB*CD=BD*DA
=
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