推 Qxyzz : 原來如此 謝謝你的熱心解釋!! 01/28 23:45
※ 引述《Qxyzz (ㄎㄎ)》之銘言：
: 不知道要分類在哪…
: 這是高微最前面談談有理數的部分
: http://i.imgur.com/cEbCh7i.jpg
: 不懂的地方在於（3）
: 完全沒有任何頭緒這行式子怎麼出來的
: 應該說前面那句To do this, we associate with each ratiomal p>0 the number
: 就不懂了囧
: 手機鏡頭有點刮傷了但還算看的到吧Orz..
: 謝謝###
證明的邏輯是:
目標: 對任何 A 中的有理數 p, 總有有理數 q 且 p < q < √2
我們先令 q = .... (3)
對任何 A 中的有理數 p, 恆有 p^2 < 2; 因此 q > p.
又 q^2 - 2 = .... (4) 分子是 2(p^2 - 2), 所以 q < √2
因此透過 (3) 這樣設, 對 A 中的有理數 p, 我們找到了 q 滿足 p < q < √2
我不知道它怎麼湊的, 但我會這樣猜
---------*-------------√2--------------
p \ /
\_ √2-p _/
那一段的長度是 √2 - p, 所以要湊就直接找 c 來得 p + c(√2 - p) (0 < c < 1)
要湊成有理數所以 c 分子取 √2 + p 挺方便
因為 1 < √2 < 2, 所以1+p < √2 + p < 2 + p, 分母取 p + 2 可以滿足 c < 1
剩下 (4) 硬算
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