[分析] 一個高微與圖形的問題

[znmkhxrw (QQ)]

我想要證明(或找到反例)以下敘述：

Let D = {(x,y)│x^2+y^2<=1} , S = {(x,y)│x^2+y^2=1}

and A,B be disjoint compact subsets of D with A∩S = {(0,1)}, B∩S = {(0,-1)}

Show that every point P in left arc is path-connected in D

       to every point Q in right arc without passing through A∪B.

(that is, there exists continuous f：[0,1]→ D\(A∪B) with f(0)=P, f(1)=Q )

<note>

"left arc"  means {(cosx,sinx)│ 0.5pi<x<1.5pi}

"right arc" means {(cosx,sinx)│-0.5pi<x<0.5pi}
----------------------------------------------------------------------------

簡單說明一下，首先畫個圓標上(0,1)與(0,-1)兩個點，

在左弧(不含上下頂點)任取一點P與右弧(不含上下頂點)任取一點Q

想證明存在一條path連結他們，且不會穿過A與B

我畫了很多例子都是可以的，而且也不意外，因為A,B兩個是disjoint compact，兩個

集合的最小距離是大於零的，感覺一定分得開

但是嚴格寫出證明時，必需說這條path(連續函數)怎麼造 而且A,B可能很複雜互卡

但是一定都繞得開...(一樣因為disjoint compact)

我嘗試很多造法，例如:

1.讓P點採棋盤格式移動，每次選取右移最大的點 → 最後好複雜...失敗

2.讓P點繞著某個compact set的boundary跑，但是boundary不一定connected → 失敗

3.讓P一直在A,B的boundary的中點跑 → 集合本身或許自己有overlap，可能中點會爆


這有點像繞迷宮XDDD 不管多彎一定繞得出去，而且我發現

即便A,B的子集會產生封閉的annulus也沒關係，因為P點是從左弦出發

絕對不會跑進去(不然就交到了)


總之不知道怎麼寫嚴格證明@@

謝謝

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→ jack7775kimo: 隨便猜一下，用反證法？不過假如做的出來還是缺乏構
→ jack7775kimo: 造方式(困難點可能是因為缺乏A,B的形狀)
推 FatGuyinNCTU: 反證
是阿 就是要general case的 A,B

反證我有試過 假設不path-connected 然後就停筆了...直覺沒機會 因為否定掉

所有path的可能範圍太廣了

另外我發現 迷宮遊戲的設計跟這個好像是等價的耶

所以我去找了迷宮的數學理論...目前沒收穫= =
※ 編輯: znmkhxrw (61.231.67.120), 01/24/2016 15:47:09