Re: [中學] 解方程式

[LPH66 (-6.2598534e+18f)]

※ 引述《dramatic0306 (悶騷)》之銘言：
: 題目為：
:            x               35
: x + ----------------- =  ------
:      根號[(x^2)-1)]        12
: 請教版上各位大大，這題要如何解呀?
易知 x≧1, 令 x = secθ, 0≦θ＜π/2

左邊可化簡為 1/cosθ + 1/sinθ

全式平方加一, 左邊成為 1/cos^2 θ + 2/(sinθcosθ) + 1/sin^2 θ + 1

易知 1/cos^2 θ + 1/sin^2 θ = 1/(sin^2 θ cos^2 θ)

故左邊可配方成為 (1/(sinθcosθ) + 1)^2

右邊由於 (12,35,37) 為畢氏數組, 平方加一是為 (37/12)^2

由於 0≦θ＜π/2 故左右括號內皆為正, 開平方得

1/(sinθcosθ) + 1 = 37/12, 即 sinθcosθ = 12/25

兩邊乘以 2 得 sin2θ = 24/25, 即 cos2θ = ±7/25

(0≦2θ＜π 故 cos 需取正負)

半角公式得 cosθ = √[(1±7/25)/2] = 4/5 or 3/5

(cosθ = 1/x > 0 故這裡只取正)

即所求 x = 1/cosθ = 5/4 or 5/3 #

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會想到三角函數其實是 √(x^2-1) 給的提示

而會取 sec 也就是要化簡 √(x^2-1) 成 tan

不過關鍵一步還是全式平方加一

會想到這一步的思路其實是這樣的:

在我的計算紙上, 1/sinθ + 1/cosθ = 35/12 是先經過交叉相乘之後

化簡成了 (35sinθ-12)(35cosθ-12) = 12*12

由於沒什麼辦法只好令了一個 35cosθ-12 = 12k, 35sinθ-12 = 12/k

於是 cosθ = (12/35)(k+1), sinθ = (12/35)(1/k+1)

然後很自然的平方相加就變成 1 = (12/35)^2 [(k+1)^2 + (1/k+1)^2]

中括號乘開是 k^2 + 2k + 2 + 2/k + 1/k^2, 正好可以配成 (k+1/k)^2 + 2(k+1/k)

而等號另一邊是 (35/12)^2, 兩邊加 1 正好都能配方了

從這裡求出 k, 回頭求 cosθ 就可以得到 x

可以看到這一大段過程如果把化簡和變數變換拿掉

最關鍵的計算就是 (35/12)^2 + 1, 而這就是原式的平方加一

所以回頭去看 (1/sinθ + 1/cosθ)^2 + 1 怎麼配方

最後湊出 (1/(sinθcosθ) + 1)^2 之後剩下的就只是簡單的三角函數計算而已了

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実琴：「河野！你真的就這樣被物質慾望給吸引過去了嗎?!」
亨：「只要穿著女裝擺出親切的樣子，所有必要花費就能全免，似乎一點都不壞啊。」
実琴：「難道你沒有男人的尊嚴了嗎?!」
亨：(斷然道)「沒有。在節衣縮食且生活吃緊的學生面前，沒有那種東西。」
                                            －－プリンセス・プリンセス  第二話

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推 Desperato   : 推 光看式子有想到三角 沒想到右邊是畢氏三元組
※ 編輯: LPH66 (123.195.39.85), 01/29/2016 12:59:29
推 wayn2008    : 推!!!後續跟我想的不一樣XD
→ wayn2008    : 我令sin@+cos@=t去改XD
推 Tiderus     :
推 dramatic0306: 謝謝你！超厲害的！