[代數] 交換環

[mack (回家的路)]

一個環 R, 裡面的元素 a 都滿足 a^2 = a, 則 R 為交換環.
Pf:考慮 (a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1 = a + 1 => 2a = 0 (此環的特徵數為2)
        (a + b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2 = a + b => ab + ba = 0
        因為 2ab = 0 => ab = -ab
        所以 ab + ba = -ab + ba = 0 => ab = ba 得證

我的問題是下面
一個環 R, 裡面的元素 a 都滿足 a^3 = a, 則 R 為交換環.(這要怎麼證明)

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推 wayne2011   : (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)=x+y,xy=0;同理,(y+x)^3=y
推 wayne2011   : ^3+x^3+3yx(y+x)=y+x,yx=0.因而R亦為其commutative.
→ Eliphalet   : wayne2011，你寫的有誤...
推 wayne2011   : 那問題在那呢?感覺不出有什麼不OK的地方~Orz
推 Desperato   : (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y) 必須假設x, y交換才成立