Re: [代數] 交換環

[Eliphalet (系統過宅)]

※ 引述《mack (回家的路)》之銘言：
: 一個環 R, 裡面的元素 a 都滿足 a^2 = a, 則 R 為交換環.
: Pf:考慮 (a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1 = a + 1 => 2a = 0 (此環的特徵數為2)
:         (a + b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2 = a + b => ab + ba = 0
:         因為 2ab = 0 => ab = -ab
:         所以 ab + ba = -ab + ba = 0 => ab = ba 得證
: 我的問題是下面
: 一個環 R, 裡面的元素 a 都滿足 a^3 = a, 則 R 為交換環.(這要怎麼證明)

推 wayne2011   : (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)=x+y,xy=0;同理,(y+x)^3=y
推 wayne2011   : ^3+x^3+3yx(y+x)=y+x,yx=0.因而R亦為其commutative.
→ Eliphalet   : wayne2011，你寫的有誤...
推 wayne2011   : 那問題在那呢?感覺不出有什麼不OK的地方~Orz

  取 y = x ，照上面寫的 xy = 0 ， 那麼 0 = x^3 = x

  所以變成 R 裡面只有 0 而已

  但是至少還可以舉出 Z_3 這個例子吧...

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  1.  2a = (a+a)^3 = 8a^3 = 8a => 6a = 0


  2.  (a+b)+(a+b)^2 = ((a+b)+(a+b)^2)^3 = 4(a+b) + 4(a+b)^2

      所以可以得到  3ab + 3ba = 0 ， 6ab + 3ba = 3ab

      => 3ba = 3ab


  3.  2a = (a+b)^3+(a-b)^3

         = 2a + 2(ab^2 + bab + b^2a )

      右乘 b 可得 2ab + 2bab^2 + 2b^2ab = 0

      類似地，左乘 b 可得 2bab^2 + 2b^2ab + 2ba = 0

      所以， 2ba = 2ab


  4.  綜合 2 及 3，可得 ab = ba


  如果上述有錯，還請指教

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推 Desperato   : 推推 第二點先把a+b換成a寫一次 會稍微清楚一點
推 LPH66       : 我做到 3ab=3ba 但第三點還真沒想到...
推 mack        : 謝謝指教