作者Desperato (Farewell)
看板Math
標題Re: [代數] 交換環
時間Tue Feb 2 15:16:14 2016
原文恕刪。我要回應wayne2011的那篇證明。
原則上這樣寫是錯的，關鍵是LPH66說的
零因子(zero divisor)
也就是說，「x(x-1) = 0 => x = 0 or x = 1」是不成立的。
LPH66說的Z6剛好就是一個非常好的例子。
Z6 中有6個元素 { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } 以及加法和乘法表如下：
+ | 0 1 2 3 4 5 x | 0 1 2 3 4 5
--------------------- ---------------------
0 | 0 1 2 3 4 5 0 | 0 0 0 0 0 0
| |
1 | 1 2 3 4 5 0 1 | 0 1 2 3 4 5
| |
2 | 2 3 4 5 0 1 2 | 0 2 4 0 2 4
| |
3 | 3 4 5 0 1 2 3 | 0 3 0 3 0 3
| |
4 | 4 5 0 1 2 3 4 | 0 4 2 0 4 2
| |
5 | 5 0 1 2 3 4 5 | 0 5 4 3 2 1
a | 0 1 2 3 4 5 a | 0 1 2 3 4 5
--------------------- ---------------------
-a | 0 5 4 3 2 1 a^-1| x 1 x x x 5
(0, 2, 3, 4沒有乘法反元素)
最簡單能形成 Z6 的東西是除以6的餘數 (mod 6)
很容易檢驗 Z6 在加法及乘法的運算下是封閉的
且滿足加法結合律、加法交換律、加法單位元素、加法反元素、
乘法的結合律、左分配律、右分配律，因此 Z6 是一個環。
因為 Z6 有乘法單位元素，所以是個有單位元素的環
(p.s. 環的定義中有沒有1，直到現在仍然沒有定論)
因為 Z6 的乘法有交換律，所以是個交換環
零因子 a 的定義：存在 b != 0, 使得 ab = 0 或 ba = 0
如果一個交換環沒有非零的零因子，稱為整環(integral domain)
沒有非零零因子，等價的說法是：「ab = 0 => a = 0 or b = 0」
整數 Z 就是一個整環，如果 p 是質數的話那 Zp 也是
Z6 不是整環，因為 2 x 3 = 3 x 4 = 0，所以 0, 2, 3, 4 都是零因子
造成的問題就是，符合 x(x-1) = 0 的 x 實際上有四個 0, 1, 3, 4
而符合 x(x-1)(x+1) = 0 甚至是全部 0, 1, 2, 3, 4, 5
不然也不會說 Z6 是滿足 x^3 = x 的一個例子了
話說一時也想不到其他例子，難道要 Z6 x Z6 嗎(?)
如果要寫證明的話，E大的幾乎是標準證明方式
很值得參考。(嗯，就是說，代數的證明都是那種玩法的概念)
補充一下好了，有些環是沒有乘法單位元素 1 的
例子是全體偶數 Even = { ..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}
很容易檢驗 Even 在加法及乘法的運算下是封閉的
且滿足加法結合律、加法交換律、加法單位元素、加法反元素、
乘法的結合律、左分配律、右分配律，因此 Even 是一個環。(複製貼上)
但是顯然裡面沒有一個元素 e 能充當 ea = ae = a 的角色
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嗯嗯ow o
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※ 編輯: Desperato (220.129.69.137), 02/02/2016 15:32:02
→ wayne2011 : 其實我也是照m大當初所證的"Boolean環"下去著手~不 02/02 16:00
→ wayne2011 : 用太care說誰的證明會比較好~如果不是那麼ok~其實可 02/02 16:01
→ wayne2011 : 以適時更正我的說法~我不太會有意見~昨天都跟c大講 02/02 16:02
→ wayne2011 : 過了... 02/02 16:03
推 coolbetter33: 推.很清楚 02/02 16:32
推 wayne2011 : 玩"法"的概念應該是說Cayley當初有當律師吧...哈哈 02/02 16:35
推 wayne2011 : 我說的那位網友是craig100~只差沒被他的信件嚇死Orz 02/02 16:58
→ Desperato : 證明確實沒有好壞之分 不過有對錯問題XD 02/02 17:47
推 wayne2011 : 當初那位大陸老師來~都不知道怎麼過的~如果這樣你們 02/02 17:58
→ wayne2011 : 其實就可以放過我了... 02/02 17:58
→ Desperato : 沒事的不用想太多ow o 02/02 19:52
推 wayne2011 : ...這句話應該是我要講的~c大昨天說的讓我覺得很對 02/02 20:00
→ wayne2011 : 不起你們~總之"代數"這們科目我要重修了orz 02/02 20:01
推 LPH66 : 例子的話因為 6a=0, 這環的特徵數要是 6 的因數 02/02 22:56
→ LPH66 : 會提 Z6 就是看到這東西的第一反應 XD 02/02 22:56
→ LPH66 : 如果要整環的例子的話 E 大的 Z3 就是了 02/02 22:58