[其他] 數學歸納法證明

[Rachelmas (Rachelmas)]

一題跟computer science有關的數學證明題

用數學歸納法證明：

    n! < (n^n)/(2^n) for n>=6

我只解了基本的步驟：

Base case:

    6!<6^6/2^6 OK

Induction step:

    Assume n=k, k!<k^k/2^k
    For n=k+1, (k+1)!=(k+1)k!
                    <(k+1)k^k/2^k -- (a)
                    <=(k+1)(k+1)^k/(2*2^k) -- (b) //從不等式右邊拆出來的

但要從(a)導到(b)必須證明k^k<=(k+1)^k/2
於是乎我就卡住了...

不知道方向對不對？
煩請各位指點迷津 感激不盡<(_ _)>

p.s.題目最後還希望證明(n^n)/(3^n) < n! < (n^n)/(2^n)

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 147.8.169.204
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1455110967.A.FD5.html
→ wohtp       : 考慮 [(k+1)^k] / [k^k]  =  (1 + 1/k)^k
→ wohtp       : 二項式定理展開一下就好
→ wohtp       :  1 + k * 1/k + ....  =  2 + ...
→ wohtp       : 反正後面的一定大於零
了解！最後lim(1+1/k)^k=e 也就能解釋我p.s.的不等式
看來是我對e太不熟了Orz
謝謝你！
推 agga        : 一定要用數學歸納法嗎?
→ agga        : n!<(n/2)^n有更好的方法呀
是啊題目規定Orz
可以請教其他方法大概是怎麼跑嗎?
※ 編輯: Rachelmas (147.8.169.204), 02/11/2016 11:27:44