[代數] 一題多項式題目

[Desperato (Farewell)]

其實原本想出成高中題目的
結果詳解寫著寫著覺得有點過意不去...
求神奇的解法(才能說服別人這是高中題目)(欸


f(x), g(x), h(x)為非零實係數多項式

f(x) 除以 g(x) 的餘式是 x
g(x) 除以 h(x) 的餘式是 x - 1
h(x) 除以 f(x) 的餘式是 x (x - 1)

g(x) + h(x)f(x) = x^5 - 1

求所有可能(f(x), g(x), h(x))組數

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 無限多組


另外也問，如果要出成高中題目的話
題目要怎麼改會比較好。我的出法是答案很難猜這樣(?)


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嗯嗯ow o

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→ kerwinhui   : 有要求 monic 的嗎？
→ Desperato   : 沒有要求monic
→ Desperato   : 話說要改成monic好像也可以 不知道解答會長怎樣
→ XII         : 答案是 0 個?
→ Desperato   : 不是 我有算出1個答案
推 LPH66       : 我也算 0 個 (沒假設 monic), 原 po 你的解是？
推 XII         : 好像只有1個((x-1)(x+1)^2+x,(x-1)(x+1)^2,x(x-1))
→ LPH66       : 容易求得 3 = deg f ≧ deg g ≧ deg h = 2
→ LPH66       : 唔…我看一下我的計算
→ LPH66       : 找到計算錯誤了, 只有上面那解沒錯
→ Desperato   : 這樣會對高中生太難嗎 / 哪個地方太難?
推 Bourbaki    : 我只是不知道高中生為什麼要會這個
推 goodmanjerry: 過程有點多，出成計算題會不會比較好?
→ goodmanjerry: 比如改成題組證明只有一組解，先分析h(x),g(x),f(x)
→ goodmanjerry: 的階數，再分析商式可能的階數，最後把商式係數求出
→ goodmanjerry: 最後求得h(x)=x(x-1),g(x)=h(x)(x+2)+(x-1),
→ goodmanjerry: f(x)=g(x)(0x+1)+x
→ Desperato   : 謝謝樓上 / 高中生完全不需要會這個XD