[分析] 可測函數的等價定義

[znmkhxrw (QQ)]

想知道下面這件事的等價性怎麼證，99%是等價的?
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Let X be a nonempty set

    F be a sigma-algebra of X

    R be the set of real numbers

    f：X → R

and (1) for any Borel set U in R, f^(-1)(U)€F

    (2) for any a€R, f^(-1)(a,+inf)€F

prove (1) is equivalent to (2)

<Note> "Borel set U in R" means：

        U€the smallest sigma algebra containing
           the collection of all open sets in R

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用Zygmund學實變不管X是R^n或是抽象空間，可測函數的定義都是(2)

但是現在學隨機變數時，老師是用(1)，上網找資料時也找到(1)

目前是很容易證出兩點

1.the smallest sigma algebra containing the collection of all open sets in R

 =the smallest sigma algebra containing the collection of all open intervals

2.(1)=>(2)


但是(2)要推到(1)的話，想要把U寫成open intervals的一些集合運算，立即失敗

因為Borel set有太多想像不到的元素了


這兩個定義應該是等價的吧？該怎麼證呢？謝謝

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→ arthurduh1  : 先證集合 {A in R: f^{-1}(A)€F} 是 sigma-algebra
→ arthurduh1  : P.S. 第一句的99%......
→ THEJOY      : 因為U可以寫成(a,+00)形式的聯集、交集和補集
→ THEJOY      : 然後inverse image和這些運算可以交換
→ THEJOY      : 再根據一樓所說的，就啾咪了
謝謝樓上兩位回覆~可是我困擾的正是“寫出U”

因為只知道U所在的集合是“包含所有開區間的最小sigma algebra”

所以U是開區間的補集與可數聯集的諸多複雜結合有其影子在

但是確實的長相沒寫出的話很難去套preimage
※ 編輯: znmkhxrw (42.72.87.156), 02/22/2016 10:15:59
→ arthurduh1  : 不用 explicitly 寫出來, 照定義: "最小"的 sig-alg