Re: [其他] 在數學傳播季刊上看到的一個等式

[cometic ( )]

※ 引述《sssh (叫我松高魂 ~~)》之銘言：
: http://imgur.com/iz7bl6P
: 上圖是某期在講朱世傑-范德蒙公式中提到的一個等式。
: 右邊等式明顯是高中的帕斯卡定理
: 但左邊等式我怎麼想也想不出來可以怎麼證明。
: (目前覺得數學歸納法應該可以解決，但還是想用推導的角度來處理)
: 請教大家是否有什麼想法可以解決？？？？
: (我一直在想這題是困難還是只是我離高中數學太久XDDDD)

從1,2,3,...,n+4 (n為正整數) 取出5個相異數的方法數

法(1):
      C(n+4,5)

法(2):
      令取出的五個數分別為a1≦a2≦a3≦a4≦a5
令a3=k+2(k=1,2,...,n)

所以a1,a2的取法數只能為C(k+1,2)
    a4,a5的取法數只能為C(n+2-k,2)
             n
所以總方法數=ΣC(k+1,2)C(n+2-k,2)
             k=1

法(3):

      令取出的五個數分別為a1≦a2≦a3≦a4≦a5
令a5=k+4(k=1,2,...,n)

所以a1,a2,a3,a4的取法數只能為C(k+3,4)
             n
所以總方法數=ΣC(k+3,4)
             k=1

法(1),法(2),法(3)所算出的答案必然相同,故得證.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.114.34.121
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※ 編輯: cometic (140.114.34.121), 02/22/2016 11:36:24
推 Ericdion    : 想問 法(2) 是不是應該要a1<a2<a3<a4<a5
→ Ericdion    : 有等號不是應該是H(k+1,2)*H(n+2-k,2)
→ cometic     : 取5個相異數 a1≦a2≦a3≦a4≦a5就是a1<a2<a3<a4<a5
→ cometic     : Thank you~