[請益] 一題有點難的數學

[wbson (Simple Power)]

k為任意正有理數

請問是否找得到唯一一組正整數(M,N)使得下列等式成立？

M(M+1)=k*N(N+1)

我猜測某些k可能會讓找不到(M,N)的正整數解，例如k=4

但是像k=5又可以找到至少4組解(我是寫程式把所有小於1000的M N都檢查過)

煩請數論神人們可以指點我一下解的數目跟k有什麼關係，感恩

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.136.188.59
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1456387717.A.00A.html
→ binbinthink : 根據你自己所述,你不是證完了嗎?
→ binbinthink : k為任意正有理數,是否找得到唯一一組.....
→ binbinthink : 當k=4找不到,當k=5會找到4組,並不唯一,
→ binbinthink : 這些不是都是反例嗎?
恩 我想要問的應該是 這個求解的過程是否有通式，對所有的正有理數k都可以適用
像k=5的確有不唯一解，但不知道是否有無窮多解
推 JianMing    : k=4 確實"找不到(M,N)的正整數解"
但是為什麼k=4的時候沒有正整數解，不知如何證明？
※ 編輯: wbson (114.136.6.175), 02/25/2016 21:27:39
→ wohtp       : 代 k=4 把M解出來，然後很明顯根號開不盡啊
k=4，解M的一元二次方程式，根號裡面b^2-4ac=16N^2 + 16N + 1
要怎麼證明這個16N^2 + 16N + 1不會是某個完全平方數？(我又卡住了～救我～)
※ 編輯: wbson (114.136.6.175), 02/25/2016 23:54:18
推 LPH66       : (4N+1)^2 = 16N^2+8N+1, (4N+2)^2 = 16N^2+16N+4
這我了解了，十分感謝！
那可以再請問如果k=5的時候 20N^2 + 20N + 1是否是無窮多個整數的平方？
※ 編輯: wbson (114.136.6.175), 02/26/2016 00:46:46
※ 編輯: wbson (114.136.6.175), 02/26/2016 00:47:06
推 JianMing    : k=5時 有無限多組正整數解