[分析] 使函數可測的最小σ-algebra

[znmkhxrw (QQ)]

先謝謝上次幫忙解決可測函數定義的a大跟T大
這個應該是類似的問題，可是用類似方法做不出，又想不出來QQ

Let X be a nonempty set

    F be a σ-algebra of X

    R be the set of real numbers

    f：X → R

Then σ({f^(-1)(a,∞)：a€R}) =?= {f^(-1)(U)：U€B(R)}

<Notation>

(1)σ({f^(-1)(a,∞)：a€R})=the smallest σ-algebra containing the collection

                            of {f^(-1)(a,∞)：a€R}

(2)B(R) = Borel σ-algebra of R, the smallest σ-algebra containing the

          collection of all open sets of R

--------------------------------------------------------------------------

目前已經知道後者 {f^(-1)(U)：U€B(R)} 本身就是σ-algebra

而由{f^(-1)(a,∞)：a€R} is included by {f^(-1)(U)：U€B(R)}

同取σ，只得到σ({f^(-1)(a,∞)：a€R}) is included by {f^(-1)(U)：U€B(R)}

想搞出另外一個方向就弄不出來了= =

猜測是對的是因為很難檢查每個borel set，但是檢察f^(-1)(a,∞)：a€R就好多了

(P.S. 最近在學隨機變數，已修過實變，但是遇到很多相似定義(Zygmund)，才會想要
      試著說明是否等價才比較安心@@)

謝謝幫忙!

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.226.98.139
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1456424280.A.F2D.html
→ jack7775kimo: Consider the set : f^(-1)B is in 左邊 chec
→ jack7775kimo: k it contains B(R)
推 jack7775kimo: 部分重推 the set (B :...)
→ znmkhxrw    : 不好意思 第三句話是???
對了 是否 f is F-measurable 會用到??

因為我們是先有f is F-measurable後 才會想要定義最小的σ-algebra,σ(f),
使f is σ(f)-measurable

雖然σ(f)的定義跟F無關...
※ 編輯: znmkhxrw (36.226.98.139), 02/27/2016 04:46:04
→ NNAA        : 想想看(a,∞)生成的σ-algebra是否包含B(R)?
→ NNAA        : 如果是 等號就成立
→ NNAA        : 不過等號右邊應該要寫成一個σ-algebra
→ NNAA        : 或是直接問實變跟機率對可測函數的定義是否等價
→ jack7775kimo: 昨天用手機jptt推文怪怪的, check {B: f^{-1}(B) in
→ jack7775kimo: 左邊} contains B(R)